Question

Докажите тождество (2n+1)! - (2n-1)! * 2n = 4n! * (2n-1)!

Answer 1

(2n+1)!-(2n-1)!*2n=4n²*(2n-1)!
(2n-1)!*2n*(2n+1)-(2n-1)!*2n=
(2n-1)!*(2n*(2n+1)-2n)=
(2n-1)!*2n(2n+1-1)=(2n-1)!*2n*2n=
(2n-1)!*4n²

Answer 2

Для доказательства данного тождества, воспользуемся алгебраическими преобразованиями.

1. Начнем с левой части уравнения: (2n+1)! - (2n-1)! * 2n

2. Мы знаем, что (2n+1)! можно записать как (2n+1) * (2n) * (2n-1)! (так как факториал равен произведению всех чисел от 1 до данного числа).

3. Теперь, заменим (2n-1)! в выражении на x (для удобства).

Таким образом, левая часть уравнения станет: (2n+1) * (2n) * x - 2n * x

4. Теперь факторизуем x: x = (2n-1)!

5. Подставим значение x обратно в выражение:

(2n+1) * (2n) * (2n-1)! - 2n * (2n-1)!

6. Вынесем общий множитель (2n-1)!:

(2n-1)! * [(2n+1) * (2n) - 2n]

7. Упростим скобку внутри:

(2n-1)! * [4n^2 + 2n - 2n]

8. 2n и -2n внутри скобки сократятся, и останется:

(2n-1)! * (4n^2)

9. Итак, левая часть уравнения равна: 4n^2 * (2n-1)! = 4n! * (2n-1)!.

Таким образом, левая и правая части уравнения равны друг другу, и тождество доказано.