Question

Sin^4 x+cos^4 x=cos^2 2x+1/4 Решите даю 20 баллов

Answer 1

y=sin^4 x = cos^4 x

y=cos^2 (2x=1/4)

пересечение с осью y (0, 1) ... (0, cos^2 1/4)

Answer 2

Для решения данного уравнения, нам нужно найти все значения x, которые удовлетворяют уравнению:

sin^4(x) + cos^4(x) = cos^2(2x) + 1/4

Для начала, преобразуем выражение cos^2(2x) с использованием формулы двойного угла для косинуса:

cos^2(2x) = (cos(2x))^2 = (2cos^2(x) - 1)^2 = 4cos^4(x) - 4cos^2(x) + 1

Теперь подставим полученное выражение в уравнение:

sin^4(x) + cos^4(x) = 4cos^4(x) - 4cos^2(x) + 1 + 1/4

Упростим уравнение:

sin^4(x) + cos^4(x) = 4cos^4(x) - 4cos^2(x) + 5/4

Перенесем все слагаемые на одну сторону:

sin^4(x) + cos^4(x) - 4cos^4(x) + 4cos^2(x) - 5/4 = 0

Теперь объединим квадраты cos^4(x) и cos^2(x) и приведем уравнение к более компактному виду:

sin^4(x) - 3cos^4(x) + 4cos^2(x) - 5/4 = 0

Теперь заметим, что уравнение является квадратным по cos^2(x). Пусть t = cos^2(x):

sin^4(x) - 3t^2 + 4t - 5/4 = 0

Теперь решим уравнение относительно t:

3t^2 - 4t + 5/4 - sin^4(x) = 0

Используем дискриминант, чтобы определить тип корней:

D = (-4)^2 - 4 * 3 * (5/4 - sin^4(x)) = 16 - 3 * (5/4 - sin^4(x)) = 16 - 15/4 + 3sin^4(x)

Так как sin^4(x) является квадратом, оно всегда неотрицательно, а значит, D >= 0:

16 - 15/4 + 3sin^4(x) >= 0

3sin^4(x) >= 15/4 - 16

3sin^4(x) >= - 1/4

sin^4(x) >= -1/12

Так как квадрат синуса всегда неотрицателен, то это неравенство всегда верно. Таким образом, sin^4(x) >= -1/12 для всех действительных x.

Поскольку sin^4(x) >= -1/12 всегда выполняется, то квадрат косинуса t = cos^2(x) должен удовлетворять уравнению:

3t^2 - 4t + 5/4 - sin^4(x) = 0

Но мы уже знаем, что sin^4(x) >= -1/12 всегда, так что уравнение выше всегда имеет решения для t.

Таким образом, исходное уравнение sin^4(x) + cos^4(x) = cos^2(2x) + 1/4 имеет бесконечно много решений для x, и они могут быть любыми действительными числами.

Вот и решение уравнения! Получено бесконечно много решений. Если у вас есть другие вопросы или задачи, не стесняйтесь спрашивать!