Question

Тригонометрия 10 класс,помогите пожалуйста,решить уравнение! sin2x+sqrt2*sinx=sqrt2-2cos(x-pi) найти на отрезке [pi;5pi/2]

Answer 1

Дано уравнение sin2x+√2*sinx=√2-2cos(x-π).
Раскрываем: sin2x = 2*sinx*cosx.
                      -2cos(x-π) = -2cos(π-x) = +2cosx.
Подставляем: 2*sinx*cosx + √2*sinx = √2 + 2cosx.
В левой части вынесем за скобки sinx:
sinx(2cosx + √2) = 2cosx + √2.
Правую часть перенесём влево и вынесем её за скобки.
(2cosx + √2)(sinx - 1) = 0.
Отсюда имеем: 

2cosx + √2 = 0,
cosx = -√2/2,      x = 2πk +- (3π/4), k ∈ Z.

sinx - 1 = 0.   
sinx  = 1,             x = (π/2) + 2πk, k ∈ Z.

На заданном промежутке [π; (5π/2)] есть только 2 решения:
х = (5π/4) и х = 5π/2).

Answer 2

Давайте решим уравнение шаг за шагом.

Уравнение: sin(2x) + √2sin(x) = √2 - 2cos(x - π)

Для начала заметим, что у нас есть два различных типа тригонометрических функций - синусы и косинусы. Чтобы свести уравнение к одному типу функций, воспользуемся тригонометрическими тождествами:

1. sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
2. cos(x - π) = -cos(x)

Заменим sin(2x) и cos(x - π) в исходном уравнении:

2sin(x)cos(x) + √2sin(x) = √2 + 2cos(x)

Теперь вынесем sin(x) за скобки:

sin(x)(2cos(x) + √2) = √2 + 2cos(x)

Теперь разделим обе части уравнения:

sin(x) = (√2 + 2cos(x)) / (2cos(x) + √2)

Обратите внимание, что знаменатель в правой части уравнения не может быть равен нулю, так как тогда бы получилось деление на ноль, что недопустимо.

Теперь разберемся с уравнением sin(x) = (√2 + 2cos(x)) / (2cos(x) + √2):

1. sin(x) = 1, когда x = π/2
2. sin(x) = -1, когда x = 3π/2

Теперь найдем значения углов, для которых 2cos(x) + √2 ≠ 0:

2cos(x) + √2 ≠ 0 2cos(x) ≠ -√2 cos(x) ≠ -√2/2

Угол cos(x) = -√2/2 находится во 2 и 3 квадрантах. Найдем его значения на интервале [π; 5π/2]:

1. x = 3π/2 (90 градусов) - находится в 3 квадранте, cos(3π/2) = 0
2. x = 2π (360 градусов) - находится в 4 квадранте, cos(2π) = 1

Таким образом, решения уравнения sin(x) = (√2 + 2cos(x)) / (2cos(x) + √2) на интервале [π; 5π/2] следующие:

1. x = π/2 (90 градусов)
2. x = 3π/2 (270 градусов)
3. x = 2π (360 градусов)

Пожалуйста, обратите внимание, что угол измеряется в радианах, а не в градусах. Если вам нужны решения в градусах, не забудьте сконвертировать их.