Question

Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд 1/(2*ln(2))-1/(3*ln(3))+1/(4*ln(4))-...+(-1)^n/(n*ln(n))+...

Answer 1

Не сходится абсолютно как эталонный (р=1)

Сходится условно по признаку Даламбера:

1)a_n=1/(n*ln(n))>0

2)$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$

3)a_n - не возрастающая последовательность

Answer 2

Данный ряд выглядит следующим образом:

$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n \ln(n)}$

Для исследования на абсолютную и условную сходимость применим признак абсолютной сходимости и признак Лейбница.

1. Признак абсолютной сходимости:

Для абсолютной сходимости нужно исследовать ряд на сходимость абсолютных значений его членов:

$\sum_{n=2}^{\infty} \left| \frac{(-1)^n}{n \ln(n)} \right| = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln(n)}$

Для применения признака сравнения сходимости положительных рядов, рассмотрим гармонический ряд:

$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n}$

и рассмотрим соотношение:

$\lim_ {n \to \infty} \frac{\frac{1}{n \ln(n)}}{\frac{1}{n}} = \lim_ {n \to \infty} \frac{1}{\ln(n)} = 0$

Так как предел равен 0, а гармонический ряд расходится, то исходный ряд тоже расходится абсолютно.

2. Признак Лейбница:

Для условной сходимости рассмотрим знакочередующийся ряд:

$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n \ln(n)}$

Для применения признака Лейбница, необходимо проверить два условия:

• Последовательность $\frac{1}{n \ln(n)}$ монотонно стремится к нулю при $n \to \infty$.
• Последовательность $\frac{1}{n \ln(n)}$ монотонно убывает.

Проверим оба условия:

• Поскольку натуральный логарифм $\ln(n)$ является возрастающей функцией для $n \geq 2$, то знаменатель $n \ln(n)$ также возрастает. Следовательно, последовательность $\frac{1}{n \ln(n)}$ монотонно убывает.

• Теперь рассмотрим предел последовательности:

$\lim_ {n \to \infty} \frac{1}{n \ln(n)} = 0$

Таким образом, оба условия признака Лейбница выполняются.

Исходя из признака Лейбница, данный ряд сходится условно.