Question

Решить уравнение sin^2(pi/8-3x/2)=sinx+sin^2(pi/8-x/2) Даю 80 баллов

Answer 1

Выполним понижение степени с помощью формулы $\sin^2 \frac{t}{2} = \frac{1}{2} (1- \cos t )$:
$\frac{1}{2} (1- \cos ( \frac{ \pi }{4} -3x ))= \sin x + \frac{1}{2} (1- \cos ( \frac{ \pi }{4} -x )) \\ 1- \cos ( \frac{ \pi }{4} -3x )= 2\sin x + 1- \cos ( \frac{ \pi }{4} -x ) \\ \cos ( \frac{ \pi }{4} -x )-\cos ( \frac{ \pi }{4} -3x )= 2\sin x$
В левой части полученного уравнения перейдем от суммы к произведению с помощью формулы разности косинусов:
$-2 \sin \dfrac{ \frac{ \pi }{4}-x+\frac{ \pi }{4}-3x }{2} \sin \dfrac{ \frac{ \pi }{4}-x-\frac{ \pi }{4}+3x }{2} =2 \sin x \\ \sin (2x-\frac{ \pi }{4}) \sin x= \sin x\\ \sin x(\sin (2x-\frac{ \pi }{4})-1) = 0$
$\sin x = 0$ или  $\sin (2x-\frac{ \pi }{4})= 1$
$x= \pi k,\ k \in Z$ или  $x=\frac{3 \pi }{8}+ \pi n,\ n \in Z$
Ответ:  $\pi k;\ \frac{3 \pi }{8}+ \pi n,\ k,n \in Z$

Answer 2

Для решения данного уравнения, давайте следующие шаги:

1. Приведем все синусы к общему знаменателю и преобразуем их в тригонометрические формулы.
2. Решим полученное квадратное уравнение.

Итак, начнем:

1. Приведение к общему знаменателю: Уравнение: sin^2(pi/8 - 3x/2) = sinx + sin^2(pi/8 - x/2)

Заметим, что sin^2(a) = 1 - cos^2(a), поэтому:

1 - cos^2(pi/8 - 3x/2) = sinx + 1 - cos^2(pi/8 - x/2)

2. Преобразование тригонометрических формул: С помощью тригонометрических формул сократим уравнение:

cos^2(pi/8 - 3x/2) - cos^2(pi/8 - x/2) = sinx

Затем воспользуемся тригонометрической формулой для cos(2a):

cos(2a) = 2cos^2(a) - 1

Таким образом, получаем:

cos(2 * (pi/8 - 3x/2)) - cos(2 * (pi/8 - x/2)) = sinx

cos(pi/4 - 3x) - cos(pi/4 - x) = sinx

Теперь, заметим, что cos(pi/4 - a) = sin(a), поэтому:

sin(3x) - sin(x) = sinx

2. Решение уравнения:

Перенесем все термины синусов в одну часть уравнения:

sin(3x) - sin(x) - sinx = 0

Теперь преобразуем синусы с помощью тригонометрической формулы разности:

sin(3x) - (sin(x) + sin(x)) = 0

sin(3x) - 2sin(x) = 0

Теперь факторизуем:

sin(x) * (3cos^2(x) - 2) = 0

Таким образом, у нас два возможных уравнения:

1. sin(x) = 0

Это уравнение имеет решение x = 0 и x = pi (или x = k * pi, где k - целое число).

2. 3cos^2(x) - 2 = 0

Решим это уравнение для cos^2(x):

3cos^2(x) - 2 = 0

3cos^2(x) = 2

cos^2(x) = 2/3

cos(x) = ±√(2/3)

Таким образом, получаем два возможных уравнения:

a) cos(x) = √(2/3)

b) cos(x) = -√(2/3)

Решим оба уравнения для x:

a) cos(x) = √(2/3)

x = arccos(√(2/3))

x ≈ 0.6442 rad (или около 36.87 градусов)

b) cos(x) = -√(2/3)

x = arccos(-√(2/3))

x ≈ 2.496 rad (или около 143.13 градусов)

Таким образом, уравнение имеет следующие решения:

1. x = 0
2. x = pi
3. x ≈ 0.6442 rad (или около 36.87 градусов)
4. x ≈ 2.496 rad (или около 143.13 градусов)

Надеюсь, это решение было полезным! Если у вас есть еще вопросы или уточнения, не стесняйтесь задать. Спасибо за 80 баллов! :)