Question

Знайдіть найменше значення виразі x^2+5y^2+4xy-4y+4.При яких значення змінних він його приймає ?

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

Для знаходження найменшого значення виразу x^2 + 5y^2 + 4xy - 4y + 4, спробуємо знайти його мінімум, диференціюючи вираз відповідно до x та y та прирівнюючи похідні до нуля:

Похідна відносно x (при f(x, y) = x^2 + 5y^2 + 4xy - 4y + 4): ∂f/∂x = 2x + 4y

Похідна відносно y (при f(x, y) = x^2 + 5y^2 + 4xy - 4y + 4): ∂f/∂y = 10y + 4x - 4

Прирівнюємо обидві похідні до нуля та вирішимо систему рівнянь: 2x + 4y = 0 10y + 4x - 4 = 0

Розв'язуємо перше рівняння відносно x: 2x = -4y x = -2y

Підставимо це значення x у друге рівняння: 10y + 4(-2y) - 4 = 0 10y - 8y - 4 = 0 2y - 4 = 0 2y = 4 y = 2

Тепер знайдемо відповідне значення x, використовуючи одне з попередніх рівнянь: x = -2y x = -2 * 2 x = -4

Таким чином, мінімальне значення виразу x^2 + 5y^2 + 4xy - 4y + 4 відбувається при x = -4 та y = 2. Підставимо ці значення виразу, щоб знайти його мінімальне значення:

(-4)^2 + 5(2)^2 + 4(-4)(2) - 4(2) + 4 = 16 + 20 - 32 - 8 + 4 = 0

Отже, найменше значення виразу x^2 + 5y^2 + 4xy - 4y + 4 дорівнює 0 і досягається при x = -4 та y = 2.