Question

Нужно найти производную f(x)= .Мнения расходяться: одни считают что его нужно логарифмировать(y=(sin(x)*ln(x))',другие просто считают как сложную функцию(sin(x)*x^(sin(x)-1)*cos(x)),другие по формуле,как все-таки правильно?

Answer 1

Это производная сложной функции.

Answer 2

Удобнее свести к экспоненциальной функций, именно
y=x^sinx = e^(ln(x^sinx))
И как сложную функцию
y’=e^(ln(x^sinx))*(ln(x^sinx))’=
x^sinx * (lnx*sinx)’ = x^sinx * (sin(x)/x + lnx*cosx) = x^(sinx-1) * (sinx + x*lnx*cosx)

Answer 3

Для нахождения производной функции $f(x) = \sin(x) \cdot \ln(x)$, давайте воспользуемся правилами дифференцирования.

Мы можем применить правило производной произведения функций, которое гласит, что производная произведения двух функций равна произведению производной первой функции и второй функции плюс произведение первой функции и производной второй функции.

Итак, давайте найдем производные отдельных частей и затем применим правило производной произведения:

1. Найдем производную $\sin(x)$:

$\frac{d}{dx}[\sin(x)] = \cos(x)$

2. Найдем производную $\ln(x)$:

$\frac{d}{dx}[\ln(x)] = \frac{1}{x}$

Теперь, применяя правило производной произведения, получаем:

$\frac{d}{dx}[\sin(x) \cdot \ln(x)] = \cos(x) \cdot \ln(x) + \sin(x) \cdot \frac{1}{x}$

Таким образом, производная функции $f(x) = \sin(x) \cdot \ln(x)$ равна $\cos(x) \cdot \ln(x) + \frac{\sin(x)}{x}$.

Относительно других вариантов, о которых упоминаются "просто считать как сложную функцию" и "по формуле", они, скорее всего, сводятся к тому же ответу, который мы получили выше. Правильное выражение для производной данной функции - $\cos(x) \cdot \ln(x) + \frac{\sin(x)}{x}$.