Question

Исследуйте функцию с помощью производной и постройте её график. f (x) = x^3 - 12x

Answer 1

Решение дано на фото.Функция ни чётная,ни нечётная, не периодическая. Д(у) :(-∞;+∞). Е(у): (-∞;+∞)

Answer 2

Для исследования функции f(x) = x^3 - 12x, начнем с нахождения производной этой функции. Производная функции покажет нам информацию о ее поведении и экстремумах.

1. Найдем производную функции f(x): f'(x) = d/dx (x^3 - 12x)

Используем правило дифференцирования для степенной функции: f'(x) = 3x^2 - 12

2. Найдем точки, где производная равна нулю: 3x^2 - 12 = 0

3x^2 = 12

x^2 = 12/3

x^2 = 4

x = ±√4

x = ±2

Таким образом, у нас есть две критические точки: x = 2 и x = -2.

Теперь найдем значения производной слева и справа от этих точек, чтобы понять характер экстремума:

• При x < -2: Выберем x = -3, подставим в производную: f'(-3) = 3(-3)^2 - 12 = 3 * 9 - 12 = 27 - 12 = 15 (положительное значение).

• При -2 < x < 2: Выберем x = 0, подставим в производную: f'(0) = 3(0)^2 - 12 = 0 - 12 = -12 (отрицательное значение).

• При x > 2: Выберем x = 3, подставим в производную: f'(3) = 3(3)^2 - 12 = 3 * 9 - 12 = 27 - 12 = 15 (положительное значение).

Таким образом, у нас есть локальный минимум при x = -2 и локальный максимум при x = 2.

Теперь построим график функции:

Для этого построим таблицу значений функции для различных значений x:

x	f(x)
-3	-39
-2.5	-28.375
-2	-20
-1.5	-13.375
-1	-8
-0.5	-4.375
0	0
0.5	0.375
1	-11
1.5	-18.375
2	-20
2.5	-13.375
3	27

Теперь нарисуем график функции f(x):

(График ниже - обратите внимание, что масштабы по осям могут быть несоответствующими)

yamlCopy code
    ^
 30 |
    |
 25 |                      .  
    |                   .  
 20 |                .  
    |              . 
 15 |           . M
    |         . 
 10 |      .  
    |    . 
  5 | . 
    |  
  0 |______________________
    -3  -2  -1  0  1  2  3

На графике видно, что у нас есть локальный минимум (обозначен буквой "M") при x = -2 и локальный максимум при x = 2. Функция возрастает на интервале (-бесконечность, -2) и (2, +бесконечность) и убывает на интервале (-2, 2).

Таким образом, мы проанализировали функцию f(x) = x^3 - 12x с помощью производной и построили её график.