Question

Количество целых решений неравенства: х^2+14х+49<5 |х+7| (Икс во второй степени плюс четырнадцать икс плюс сорок девять больше пяти, умноженная на модуль икс плюс семь)

Answer 1

Решение прикрепил во вложении

Answer 2

Для решения данного неравенства нужно разбить его на два случая: когда выражение внутри модуля положительно и когда оно отрицательно. Затем решим оба неравенства и найдем общее количество целых решений.

1. Когда $x + 7 > 0$: В этом случае модуль равен $|x + 7| = x + 7$. Перепишем неравенство: $x^2 + 14x + 49 < 5(x + 7)$. Разрешим неравенство: $x^2 + 14x + 49 < 5x + 35$. $x^2 + 14x + 49 - 5x - 35 < 0$. $x^2 + 9x + 14 < 0$.

2. Когда $x + 7 < 0$: В этом случае модуль равен $|x + 7| = -(x + 7) = -x - 7$. Перепишем неравенство: $x^2 + 14x + 49 < 5(-x - 7)$. Разрешим неравенство: $x^2 + 14x + 49 < -5x - 35$. $x^2 + 19x + 84 < 0$.

Теперь решим оба квадратных неравенства:

1. $x^2 + 9x + 14 < 0$: Для определения знаков значения $x$ рассмотрим значение дискриминанта $\Delta = b^2 - 4ac$: $\Delta = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 81 - 56 = 25$. Так как $\Delta > 0$, то уравнение имеет два различных вещественных корня. Чтобы найти, в каком интервале $x$ неравенство выполнено, определим корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-9 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 + 5}{2} = -2$. $x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-9 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-9 - 5}{2} = -7$.

   Теперь построим знаки значения $x + 2$ и $x + 7$ на числовой прямой: $-\infty -7 -2 +\infty$ -------|---|---|------- $x + 7$ $x + 2$

   Видим, что в интервалах $(- \infty, -7)$ и $(-2, +\infty)$ неравенство $x^2 + 9x + 14 < 0$ и, следовательно, $x^2 + 14x + 49 < 5|x + 7|$ выполняется.

2. $x^2 + 19x + 84 < 0$: Аналогично, рассчитаем значение дискриминанта: $\Delta = 19^2 - 4 \cdot 1 \cdot 84 = 361 - 336 = 25$. Так как $\Delta > 0$, то уравнение имеет два различных вещественных корня. Чтобы найти, в каком интервале $x$ неравенство выполнено, определим корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-19 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-19 + 5}{2} = -7$