Question

точки А и В находятся на графике ф(х)=-х в квадрате+4х так,что А в первой,а В в четвертой четверти.АВ - диаметр полуокружности,проходящей через начало координат.Через В проходит отрезок параллельный оси Х и и пресекающий полуокружность в точке С. Найти координатыв точек А и В ,при которых отрезок ВС минимален.

Answer 1

Координаты

A(a,-a^2+4a) и B(b,-b^2+4b)

Так как AB диаметр , то AOB = 90 гр , O начало координат

Координаты векторов

OA=A, OB=B так как они перпендикулярны, то их скалярное произведение равно 0 , или

a*b+(a^2-4a)*(b^2-4b)=0

a=(4b-17)/(b-4)

Тогда A((4b-17)/(b-4) , (4b-17)/(b-4)^2)

Так как BC параллельна OX то C((4b-16)/(b-4) , -b^2+4b)

Значит BC^2=(b^2-8b+17)/(b-4)

При условий что b>4

Функция

y(b) =((b-4)^2+1)/(b-4) = (x^2+1)/x = x+(1/x) >= 2 так как (sqrt(x)-(1/sqrt(x)))^2>=0

Откуда BC=sqrt(2)

При b=5 значит

A(3,3) B(5,-5) C(3,-5)

Answer 2

Чтобы найти координаты точек А и В, при которых отрезок ВС минимален, нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти точки А и В на графике функции f(x) = -x^2 + 4x, так чтобы А была в первой четверти, а В - в четвертой четверти.
2. Найти уравнение полуокружности с диаметром АВ, которая проходит через начало координат.
3. Найти уравнение отрезка ВС, проходящего через точку В и пересекающего полуокружность.
4. Найти точку С, где отрезок ВС пересекает полуокружность.
5. Найти длину отрезка ВС.
6. Найти координаты точек А и В, при которых отрезок ВС минимален.

Давайте выполнять каждый шаг по порядку:

Шаг 1: Найдем точки А и В на графике функции f(x) = -x^2 + 4x, так чтобы А была в первой четверти, а В - в четвертой четверти.

Функция f(x) = -x^2 + 4x имеет вершину параболы, где производная равна нулю: f'(x) = -2x + 4 0 = -2x + 4 2x = 4 x = 2

Теперь, найдем значения функции в точке x = 2: f(2) = -(2)^2 + 4(2) = -4 + 8 = 4

Таким образом, точка А будет иметь координаты (2, 4).

Чтобы найти точку В, подставим x = 0 (так как точка В находится на оси x) в функцию f(x): f(0) = -(0)^2 + 4(0) = 0

Таким образом, точка В будет иметь координаты (0, 0).

Шаг 2: Найдем уравнение полуокружности с диаметром АВ, проходящей через начало координат.

Полуокружность с диаметром АВ будет иметь радиус, равный половине длины отрезка АВ: Радиус = (1/2) * AB = (1/2) * √[(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2]

Подставим координаты точек А и В: Радиус = (1/2) * √[(0 - 2)^2 + (0 - 4)^2] = (1/2) * √[(-2)^2 + (-4)^2] = (1/2) * √[4 + 16] = (1/2) * √20 = √5

Таким образом, уравнение полуокружности будет: x^2 + y^2 = 5

Шаг 3: Найдем уравнение отрезка ВС, проходящего через точку В и пересекающего полуокружность.

Отрезок ВС параллелен оси x, значит, у него будет вид y = const. Поскольку он проходит через точку В(0, 0), его уравнение будет y = 0.

Шаг 4: Найдем точку С, где отрезок ВС пересекает полуокружность. Подставим уравнение отрезка ВС в уравнение полуокружности:

x^2 + (0)^2 = 5

x^2 = 5

x = ±√5

Таким образом, точки С будут иметь координаты (±√5, 0).

Шаг 5: Найдем длину отрезка ВС. Для этого используем формулу длины отрезка между двумя точками:

Длина ВС = √[(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2]

Подставим координаты точек В и С: Длина ВС = √[(±√5 - 0)^2 + (0 - 0)^2] = √[(±√5)^2] = √5

Шаг 6: Теперь, чтобы найти координаты точек А и В, при которых отрезок ВС минимален, нам нужно выбрать такие точки А и В, чтобы расстояние между ними было минимальным.

Из шага 5 мы знаем, что длина отрезка ВС равна √5. Расстояние между точками на плоскости минимально, когда эти точки лежат на одной прямой. Таким образом, точки А и В должны лежать на прямой, проходящей через точку С.

Мы уже знаем, что координаты точек С равны (±√5, 0). Подставим значения x_C = ±√5 в уравнение функции f(x) = -x^2 + 4x, чтобы найти соответствующие значения y_C:

y_C = - (√5)^2 + 4(√5) = -5 + 4√5 или y_C = - (-√5)^2 + 4(-√5) = -5 - 4√5

Таким образом, точки С имеют координаты (√5, -5 + 4√5) и (-√5, -5 - 4√5).

Теперь, так как точки А и В должны лежать на прямой, проходящей через С, и А долж