Question

Решить уравнение sin3xcosx=sin7xcos5x

Answer 1

1/2(sin4x+sin2x)=1/2(sin12x+sin2x) sin4x+sin2x=sin12x+sin2x sin12x=sin4x 12x=4x+2πk 8x=2πk x=πk/4 12x=π-4x+2πk 16x= π+2πk x= π/16+πk/8

Answer 2

Для решения уравнения sin(3x)cos(x) = sin(7x)cos(5x) сначала преобразуем выражения с тригонометрическими функциями справа и слева уравнения.

Используем тригонометрические тождества:

1. Произведение синуса и косинуса: sin(a)cos(b) = (1/2)(sin(a + b) + sin(a - b))
2. Разность аргументов синуса: sin(a) - sin(b) = 2cos((a + b)/2)sin((a - b)/2)

Применим первое тождество к левой стороне:

sin(3x)cos(x) = (1/2)(sin(3x + x) + sin(3x - x)) = (1/2)(sin(4x) + sin(2x))

Теперь применим второе тождество к правой стороне:

sin(7x)cos(5x) = 2cos((7x + 5x)/2)sin((7x - 5x)/2) = 2cos(6x)sin(x)

Таким образом, уравнение принимает вид:

(1/2)(sin(4x) + sin(2x)) = 2cos(6x)sin(x)

Теперь приведем все к общему знаменателю и сократим 1/2:

sin(4x) + sin(2x) = 4cos(6x)sin(x)

Применим опять тригонометрическое тождество произведения синуса и косинуса:

sin(4x) + sin(2x) = 2sin(6x)cos(6x)

Теперь используем тригонометрическую формулу синуса утроенного угла:

sin(3a) = 3sin(a) - 4sin^3(a)

Здесь a = 2x:

sin(6x) = 3sin(2x) - 4sin^3(2x)

Теперь заменим sin(6x) в исходном уравнении:

2sin(6x)cos(6x) = 2(3sin(2x) - 4sin^3(2x))cos(6x)

Упростим:

2(3sin(2x) - 4sin^3(2x))cos(6x) = 6sin(2x)cos(6x) - 8sin^3(2x)cos(6x)

Теперь вернемся к исходному уравнению:

sin(4x) + sin(2x) = 6sin(2x)cos(6x) - 8sin^3(2x)cos(6x)

Теперь преобразуем правую часть:

sin(4x) + sin(2x) = 2sin(2x)(3cos(6x) - 4sin^2(2x)cos(6x))

Используем тождество тригонометрического квадрата:

sin^2(a) + cos^2(a) = 1

cos^2(a) = 1 - sin^2(a)

cos^2(6x) = 1 - sin^2(6x)

Таким образом, уравнение принимает вид:

sin(4x) + sin(2x) = 2sin(2x)(3(1 - sin^2(6x)) - 4sin^2(2x)(1 - sin^2(6x)))

sin(4x) + sin(2x) = 2sin(2x)(3 - 3sin^2(6x) - 4sin^2(2x) + 4sin^2(2x)sin^2(6x))

sin(4x) + sin(2x) = 2sin(2x)(3 - 3sin^2(6x) + 4sin^2(2x)sin^2(6x) - 4sin^2(2x))

sin(4x) + sin(2x) = 2sin(2x)(3 + 4sin^2(2x)sin^2(6x) - 3sin^2(6x) - 4sin^2(2x))

sin(4x) + sin(2x) = 2sin(2x)(3 + sin^2(2x)(4sin^2(6x) - 4) - 3sin^2(6x))

Теперь обозначим sin(2x) как t:

sin(4x) + t = 2t(3 + t^2(4sin^2(6x) - 4) - 3sin^2(6x))

Мы привели уравнение к более простому виду, но его дальнейшее решение сводится к численным методам или использованию графиков, так как содержит тригонометрические функции и не может быть решено аналитически.

Для решения численно, можно использовать методы численной оптимизации или графический подход, найдя точки пересечения графиков левой и правой сторон уравнения.