Question

3sin^2x-4sinxcosx+cos^2x=0 Помогите решить, срочно надо(с обьяснением)

Answer 1

На cos^2 делите:

$3\frac{sin^2x}{cos^2x} -4\frac{sinx}{cosx} +1=0$

sinx/cosx = tgx

$3tg^2x -4tgx +1=0$

Корни 1/3 и 1:

1/3 : $tgx = arctg(1/3) + \pi k$

1 : $tgx = \frac{\pi}{4} + \pi k$

Answer 2

Для решения данного уравнения, давайте заменим тригонометрические функции на более удобные обозначения. Пусть $\sin x = a$ и $\cos x = b$. Тогда уравнение примет вид:

$3a^2 - 4ab + b^2 = 0$

Данное квадратное уравнение относительно переменной $a$. Теперь решим его.

Мы можем попытаться разложить выражение на множители или использовать дискриминант. Но есть более простой способ: заметим, что данное квадратное уравнение может быть представлено в следующем виде:

$(a - b)^2 = 0$

Это является квадратом разности. Теперь мы можем взять квадратный корень от обеих сторон уравнения:

$\sqrt{(a - b)^2} = \sqrt{0}$

$a - b = 0$

Теперь подставим обратно значения $a$ и $b$, используя исходные замены:

$\sin x - \cos x = 0$

Теперь нам нужно решить уравнение относительно $x$.

$\sin x = \cos x$

Мы знаем, что $\cos x = \frac{\sin(\frac{\pi}{2} - x)}{1}$, так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и $\sin(\frac{\pi}{2} - x)$ это просто $\cos x$, поэтому:

$\sin x = \frac{\sin(\frac{\pi}{2} - x)}{1}$

Теперь у нас есть уравнение синуса, и мы знаем, что для него выполняется равенство:

$\sin \alpha = \sin \beta$

Если это верно, то $\alpha = \beta + 2n\pi$ или $\alpha = \pi - \beta + 2n\pi$, где $n$ - целое число.

В нашем случае:

$x = \frac{\pi}{2} - x + 2n\pi$ или $x = \pi - \left(\frac{\pi}{2} - x\right) + 2n\pi$

Теперь решим уравнение:

$2x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$ или $2x = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$

$x = \frac{\pi}{4} + n\pi$ или $x = \frac{3\pi}{4} + n\pi$

Это дает нам два семейства решений:

1. $x = \frac{\pi}{4} + n\pi$, где $n$ - целое число.
2. $x = \frac{3\pi}{4} + n\pi$, где $n$ - целое число.

Таким образом, у нас бесконечное количество решений этого уравнения. Каждое из решений $x$ будет удовлетворять исходному уравнению $3\sin^2x - 4\sin x \cos x + \cos^2x = 0$.