Question

В выражении (5x^7-8x^2+4)^2018 раскрыли скобки и привели подобные слагаемые. А) найдите старший коэффициент, свободный члени степень полученного многочлена. Б) найдите сумму коэффициентов полученного многочлена.

Answer 1

А) старший коэффициент:
${5}^{2018}$
свободный член:
${4}^{2018}$
степень многочлена:
$7 \times 2018 = 14126$
б) сумма коэффициентов любого многочлена равна его значению при x=1 следовательно сумма коэффициентов многочлена
$( {5x}^{7} - {8x}^{2} + 4) ^{2018}$
равна
$(5 \times {1}^{7} - 8 \times {1}^{7} + 4)^{2018} = (5 - 8 + 4)^{2018} = ( - 3 + 4) ^{2018} = {1}^{2018} = 1$

Answer 2

Чтобы решить задачу, нужно определить общий вид разложения и коэффициенты полученного многочлена. После этого можно будет ответить на оба вопроса.

При раскрытии скобок в выражении (5x^7 - 8x^2 + 4)^2018, мы получим многочлен с разными слагаемыми. Для определения старшего коэффициента и свободного члена, нужно определить формулу для коэффициентов.

Общий вид разложения бинома Ньютона имеет вид: (a + b)^n = Σ(C(n, k) * a^(n-k) * b^k), где С(n, k) - биномиальный коэффициент (число сочетаний), определяется как C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!), где n! - факториал n.

Для данного выражения (5x^7 - 8x^2 + 4)^2018, a = 5x^7, b = -8x^2 и n = 2018.

А) Найдем старший коэффициент, который будет соответствовать слагаемому с наибольшей степенью x: Старший коэффициент = C(2018, 0) * (5x^7)^(2018-0) * (-8x^2)^0 = C(2018, 0) * (5x^7)^2018 * 1 = C(2018, 0) * 5^2018 * x^(7 * 2018) * 1 = C(2018, 0) * 5^2018 * x^14126.

Для вычисления C(2018, 0) можно использовать следующее соотношение: C(n, 0) = 1.

Б) Найдем сумму всех коэффициентов многочлена. Это равно просто сумме всех биномиальных коэффициентов: Сумма коэффициентов = Σ(C(2018, k) * 5^(2018-k) * (-8)^k) для k от 0 до 2018.

Однако, рассчитывать эту сумму вручную будет сложной задачей. Вместо этого, можно воспользоваться свойствами биномиальных коэффициентов и использовать формулу для суммы всех биномиальных коэффициентов в степени n:

Сумма коэффициентов = (a + b)^n, где a = 5 и b = -8, и n = 2018.

Таким образом, чтобы найти сумму коэффициентов, нужно просто вычислить значение выражения (5 - 8)^2018.

Итак, А) Старший коэффициент: C(2018, 0) * 5^2018 = 5^2018. Б) Сумма коэффициентов: (5 - 8)^2018 = (-3)^2018.