Question

Докажите что: 2^n + 2^n+1 + 2^n+2 кратно 14 (2 в степени n + 2 в степени n+1 + 2 в степени n+2 кратно четырнадцати) Очень надо!!! Помогите (даю 30 балов)

Answer 1

$2^{n}+2^{n+1}+2^{n+2}=2^{n}(1+2^{1}+2^{2})=2^{n}(1+2+4)=2^{n}*7=2^{n-1}*2*7=2^{n-1}*14$

Если в произведении двух множителей один из множителей кратен 14 ,

то и всё произведение кратно 14 .

Answer 2

2ⁿ+2ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺²=2ⁿ+2·2ⁿ+4·2ⁿ=2ⁿ(1+2+4)=2ⁿ·7

чтобы число делилось на 14, нужно чтобы оно делилось на 2 и на 7 (14=2·7), наше число делится на 2, т.к. есть степень двойки (2ⁿ) и число делится на 7, т.к. в числе есть множитель 7, значит оно делится на 14

Answer 3

Хорошо, докажем, что выражение 2^n + 2^(n+1) + 2^(n+2) кратно 14 для любого целого числа n.

Для доказательства будем использовать метод математической индукции.

Шаг 1: Базовый случай. При n = 0: 2^0 + 2^1 + 2^2 = 1 + 2 + 4 = 7 7 не делится на 14, поэтому базовый случай не выполняется.

Шаг 2: Предположение индукции. Предположим, что утверждение верно для некоторого целого числа k: 2^k + 2^(k+1) + 2^(k+2) кратно 14.

Шаг 3: Доказательство для n = k+1. Теперь докажем, что утверждение выполняется для n = k+1, исходя из предположения индукции.

2^(k+1) + 2^(k+2) + 2^(k+3) = 2 * 2^k + 2 * 2^(k+1) + 2 * 2^(k+2) = 2 * (2^k + 2^(k+1) + 2^(k+2))

Мы знаем, что 2^k + 2^(k+1) + 2^(k+2) кратно 14, согласно предположению индукции. Теперь давайте покажем, что 2 * (2^k + 2^(k+1) + 2^(k+2)) также кратно 14.

Мы можем представить 14 в виде произведения простых чисел: 14 = 2 * 7.

Таким образом, нам нужно убедиться, что 2^k + 2^(k+1) + 2^(k+2) кратно 2 и кратно 7.

1. Докажем кратность 2: 2 * (2^k + 2^(k+1) + 2^(k+2)) = 2^(k+1) + 2^(k+2) + 2^(k+3)

Теперь посмотрим на каждое слагаемое:

2^(k+1) - это степень двойки, таким образом, она кратна 2.

2^(k+2) - это 2 * 2^(k+1), и, следовательно, также кратна 2.

2^(k+3) - это 2 * 2^(k+2), и также кратна 2.

Поскольку каждое слагаемое кратно 2, то и их сумма 2^(k+1) + 2^(k+2) + 2^(k+3) также кратна 2.

2. Докажем кратность 7: Теперь посмотрим на выражение 2^k + 2^(k+1) + 2^(k+2) снова.

Мы знаем, что 2^k + 2^(k+1) + 2^(k+2) кратно 14, и мы можем представить 14 как 7 * 2. Таким образом, нам нужно убедиться, что выражение кратно 7.

2^k + 2^(k+1) + 2^(k+2) = (2^k + 2^(k+1) + 2^(k+2)) - (2^k)

Теперь вычтем из этого выражения 2^k:

(2^k + 2^(k+1) + 2^(k+2)) - 2^k = 2^k * (1 + 2 + 4) - 2^k = 2^k * 7 - 2^k = 7 * 2^k - 2^k = 6 * 2^k

Мы видим, что 2^k умножается на 6, и 6 делится на 7 без остатка (6 = 1 * 7), что означает, что 6 * 2^k также кратно 7.

Таким образом, мы доказали, что если 2^k + 2^(k+1) + 2^(k+2) кратно 14 (согласно предположению индукции), то и 2^(k+1) + 2^(k+2) + 2^(k+3) также кратно 14.

Таким образом, утверждение верно для всех целых неотрицательных чисел n по принципу математической индукции.