Question

Исследовать функцию и построить график. y=x^3-2x^2+x

Answer 1

Полное решение во вложении.

Применяем классическую схему исследования функции и построения ее графика:

1) Область определения.

2) Поведение функции при стремлении к концам промежутков области определения.

3) (Не-)четность, периодичность.

4) Точки пересечения с осями координат.

5) Асимптоты.

6) Промежутки возрастания и убывания.

7) Выпуклость/вогнутость.

8) Дополнительные точки.

9) График.

10) Область значений.

Answer 2

Для исследования функции y = x^3 - 2x^2 + x и построения её графика, давайте выполним следующие шаги:

1. Найдем точки пересечения с осями координат.

2. Найдем экстремумы функции (минимумы и максимумы).

3. Найдем интервалы возрастания и убывания функции.

4. Найдем значения функции в точке y = f(x).

5. Построим график функции.

6. Точки пересечения с осями координат: Чтобы найти точку пересечения с осью абсцисс (ось x), приравняем y к нулю и решим уравнение: x^3 - 2x^2 + x = 0

Факторизуем выражение: x(x^2 - 2x + 1) = 0

Получаем два корня: x = 0 x^2 - 2x + 1 = 0

Решим второе уравнение: (x - 1)^2 = 0 x = 1

Таким образом, у нас есть две точки пересечения с осью x: (0, 0) и (1, 0).

2. Экстремумы функции: Чтобы найти экстремумы, найдем производную функции и приравняем её к нулю: y = x^3 - 2x^2 + x

y' = 3x^2 - 4x + 1

Теперь решим уравнение: 3x^2 - 4x + 1 = 0

Получим два корня: x = 1/3 x = 1

Теперь найдем значения функции в этих точках: y(1/3) = (1/3)^3 - 2(1/3)^2 + 1/3 ≈ -0.037 y(1) = 1^3 - 2(1)^2 + 1 = 0

Таким образом, у нас есть два экстремума: (1/3, -0.037) и (1, 0).

3. Интервалы возрастания и убывания функции: Чтобы найти интервалы возрастания и убывания, построим таблицу знаков производной:

x	0	1/3	1
y'	positive	negative	positive
y	increasing	decreasing	increasing

Таким образом, функция возрастает на интервале (-∞, 1/3) и (1, +∞), а убывает на интервале (1/3, 1).

4. Значения функции: Уже были найдены значения функции в точках x = 0 и x = 1: y(0) = 0 и y(1) = 0. Значения функции в остальных точках можно найти по формуле y = x^3 - 2x^2 + x.

y(1/3) ≈ -0.037 y(2) = 2^3 - 2(2)^2 + 2 = -2 y(-1) = (-1)^3 - 2(-1)^2 - 1 = -2

5. Построение графика функции: Теперь, имея всю необходимую информацию, построим график функции:

(График ниже предполагает аппроксимацию и может не быть идеально точным.)

На графике видно, что функция проходит через точки (0, 0) и (1, 0), имеет минимум в точке (1/3, -0.037) и максимум в точке (1, 0). Также, функция возрастает на интервалах (-∞, 1/3) и (1, +∞), и убывает на интервале (1/3, 1).