Question

Написать уравнение касательной и нормали к кривой x^3+y^2+2x-6 в точке с ординатой y0=3

Answer 1

Касательная - прямая, которая касается к кривой в точке (x₀;3), где x₀ - абсцисса касания. Подставим координаты точки касания в заданное уравнение кривой

$x_0^3+3^2+2x_0-6=0\\x_0^3+2x_0+3=0$

Путем подбора $x_0=-1$, уравнение имеет единственный корень, так как функция, соответствующая данному уравнению, является монотонной.

(-1;3) - точка касания касательной.

$\displaystyle \frac{\partial y}{\partial x}=-\frac{\cfrac{\partial}{\partial x}\left(x^3+y^2+2x-6\right)}{\cfrac{\partial}{\partial y}\left(x^3+y^2+2x-6\right)}=-\frac{3x^2+2}{2y}$

Найдем теперь значение производной в точке (-1;3).

$\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}f(-1;3)=-\frac{3\cdot (-1)^2+2}{2\cdot 3}=-\frac{5}{6}$

Уравнение касательной к кривой:

$\displaystyle F(x)=y_0+y'(x_0)(x-x_0)=3-\frac{5}{6}\cdot \left(x+1\right)=\frac{-5x}{6}+\frac{13}{6}$

Уравнение нормали к кривой:

$\displaystyle F_n=y_0-\frac{x-x_0}{y'(x_0)}=3-\frac{x+1}{-\cfrac{5}{6}}=\frac{6x}{5}+\frac{21}{5}$

Answer 2

Для того чтобы найти уравнения касательной и нормали к кривой в заданной точке, нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем производную функции, представляющей данную кривую, чтобы найти угловой коэффициент касательной в точке.

2. Найдем координаты точки, в которой требуется найти касательную и нормаль (в нашем случае, точку с ординатой y0 = 3).

3. Найдем угловой коэффициент нормали, который будет отрицанием обратного значения углового коэффициента касательной.

4. Используем найденные угловые коэффициенты и точку, чтобы записать уравнения касательной и нормали.

5. Найдем производную функции f(x) = x^3 + y^2 + 2x - 6 по x: f'(x) = d/dx (x^3 + y^2 + 2x - 6) f'(x) = 3x^2 + 2

6. Теперь найдем координаты точки, в которой требуется найти касательную и нормаль. Мы знаем, что ордината (y) этой точки равна 3, поэтому подставим y0 = 3 в исходное уравнение: x^3 + y^2 + 2x - 6 = 0 x^3 + 3^2 + 2x - 6 = 0 x^3 + 9 + 2x - 6 = 0 x^3 + 2x + 3 = 0

   Найдем значение x в этой точке, решая уравнение. Здесь возможно необходимо использовать численные методы для нахождения корней этого уравнения.

7. Найдем угловой коэффициент касательной (m) в найденной точке, подставив найденное значение x в f'(x): m = f'(x) = 3x^2 + 2 (значение x полученное на шаге 2)

8. Теперь найдем угловой коэффициент нормали (n), который будет отрицанием обратного значения углового коэффициента касательной: n = -1 / m

Теперь у нас есть угловой коэффициент нормали (n) и координаты точки, в которой мы хотим найти касательную и нормаль. Мы можем записать уравнения касательной и нормали в общем виде:

Уравнение касательной: y - y0 = m * (x - x0)

Уравнение нормали: y - y0 = n * (x - x0)

Где (x0, y0) - координаты точки, в которой мы ищем касательную и нормаль, а m и n - угловые коэффициенты касательной и нормали соответственно, которые мы нашли выше.