Question

Розв'яжіть нерівність9^x-12*3^x+27<0скиньте будь-ласка повний розв'язок

Answer 1

3^x=t

t^2-12t+27<0

t=3 t=9

3<t<9

3<3^x<9

3<3^x<3^2

1<x<2

Answer 2

Для вирішення даної нерівності, спростимо спочатку вираз:

9^x - 12*3^x + 27 < 0

Зверніть увагу, що 27 = 3^3, тому ми можемо переписати нерівність:

9^x - 12*3^x + 3^3 < 0

Тепер факторизуємо вираз:

(3^x)^2 - 12 * 3^x + 27 < 0

Замінимо 3^x на t, щоб отримати квадратне рівняння:

t^2 - 12t + 27 < 0

Тепер ми можемо знайти корені квадратного рівняння. Спростимо його далі:

(t - 9)(t - 3) < 0

Тепер знайдемо значення t для яких вираз (t - 9)(t - 3) менше нуля. Для цього розглянемо три інтервали: t < 3, 3 < t < 9, t > 9.

1. Для t < 3: (t - 9) < 0, (t - 3) < 0 Таким чином, (t - 9)(t - 3) > 0

2. Для 3 < t < 9: (t - 9) < 0, (t - 3) > 0 Таким чином, (t - 9)(t - 3) < 0

3. Для t > 9: (t - 9) > 0, (t - 3) > 0 Таким чином, (t - 9)(t - 3) > 0

Тепер ми знаємо, що (t - 9)(t - 3) < 0 лише для 3 < t < 9.

Тепер замінимо назад t на 3^x:

3^x > 3 та 3^x < 9

Тепер розв'яжемо ці нерівності:

1. 3^x > 3: З логарифмічного правила, x*log(3) > log(3), ділимо на log(3) (пам'ятайте, що log(3) > 0, тому знак нерівності не змінюється):

x > 1

2. 3^x < 9: Аналогічно, x*log(3) < log(9), ділимо на log(3):

x < 2

Таким чином, розв'язком даної нерівності є:

1 < x < 2