Question

При каких значениях параметра а уравнение (а-2)х=2а+3 , имеет только целые корни?

Answer 1

$(a-2)x=2a+3$

$a \neq 2$

$x=\frac{2a+3}{a-2}$

$x=\frac{2a-4+7}{a-2}$

$x=\frac{2a-4}{a-2}+\frac{7}{a-2}$

$x=\frac{2(a-2)}{a-2}+\frac{7}{a-2}$

$x=2+\frac{7}{a-2}$

7 делится -7,-1,1,7

$a-2=-7 \Rightarrow a=-7+2=-5$

$a-2=-1 \Rightarrow a=-1+2=1$

$a-2=1 \Rightarrow a=1+2=3$

$a-2=7 \Rightarrow a=7+2=9$

Ответ:

$a\in \left\{-5,1,3,9\right\}$

Answer 2

Для уравнения $(a-2)x=2a+3$ чтобы иметь только целые корни, выразим $x$ через параметр $a$ и убедимся, что выражение $a-2$ делится на $x$.

1. Решим уравнение для $x$:

$(a-2)x = 2a + 3$

Разделим обе части уравнения на $a-2$:

$x = \frac{2a+3}{a-2}$

2. Проверим условие, чтобы $(a-2)$ делилось на $x$ без остатка:

Чтобы $(a-2)$ делилось на $x$ без остатка, значит $x$ должно быть целым числом.

Таким образом, условие для параметра $a$ для того, чтобы уравнение имело только целые корни, это:

$\frac{2a+3}{a-2}$ должно быть целым числом.

При каких значениях $a$ это выполнится? Рассмотрим два возможных случая:

а) Если $a-2$ делится на $2a+3$, тогда $x$ будет целым числом.

б) Если $2a+3$ делится на $a-2$, тогда $x$ будет целым числом.

3. Посмотрим на первый случай:

$a-2$ должно делиться на $2a+3$:

$\frac{2a+3}{a-2} = \frac{(a-2) + 5}{a-2} = 1 + \frac{5}{a-2}$

Для того, чтобы $\frac{5}{a-2}$ было целым числом, $a-2$ должно быть одним из делителей числа 5. То есть возможные значения $a-2$ равны $-5$, $-1$, $1$ и $5$.

Для каждого из этих значений $a$, найдем соответствующее $x$:

a) При $a-2 = -5 \Rightarrow a = -3$

$x = \frac{2(-3) + 3}{-5} = -\frac{3}{5}$ - не является целым числом.

б) При $a-2 = -1 \Rightarrow a = 1$

$x = \frac{2(1) + 3}{-1} = -5$ - является целым числом.

в) При $a-2 = 1 \Rightarrow a = 3$

$x = \frac{2(3) + 3}{1} = 9$ - является целым числом.

г) При $a-2 = 5 \Rightarrow a = 7$

$x = \frac{2(7) + 3}{5} = 3$ - является целым числом.

Таким образом, уравнение будет иметь только целые корни при $a = 1$ и $a = 7$.