Question

Составить уравнение линии, каждая точка М которой, удовлетворяет заданным условиям. Отстоит от точки А(5;7) на расстоянии, в четыре раза больше, чем от точки В (-2,1)

Answer 1

пусть координаты точки М(x; y)

тогда по условию:

√((5-x)² + (7-y)²) = 4√((-2-x)² + (1-y)²)

(5-x)² + (7-y)² = 16(2+x)² + 16(1-y)²

15 - 10x + x² + 49 - 14y + y² = 64 + 64x + 16x² + 16 + 16y² - 32y

15x² + 74x + 15y² - 18y + 16 = 0

x² + 74x/15 +(37/15)² + y² - 18y/15 + (9/15)² - 1450/225 + 16/15 = 0

(x + √(37/15))² + (y - (3/5))² = 1210/225 = (11√10/15)²

окружность с центром (-√(37/15); 0,6) и радиусом 11√10/15

Answer 2

Чтобы составить уравнение линии, удовлетворяющей заданным условиям, мы можем использовать формулу для расстояния между точкой и прямой.

Пусть M(x, y) - произвольная точка на искомой линии, A(5, 7) и B(-2, 1) - заданные точки.

Условие гласит, что расстояние от точки M до точки A в четыре раза больше, чем расстояние от точки M до точки B. Мы можем записать это условие в виде уравнения:

Расстояние от M до A: √((x - 5)^2 + (y - 7)^2) Расстояние от M до B: √((x + 2)^2 + (y - 1)^2)

Согласно условию задачи:

√((x - 5)^2 + (y - 7)^2) = 4 * √((x + 2)^2 + (y - 1)^2)

Для упрощения уравнения можно избавиться от корней, возведя уравнение в квадрат:

(x - 5)^2 + (y - 7)^2 = 16 * ((x + 2)^2 + (y - 1)^2)

Теперь раскроем скобки:

x^2 - 10x + 25 + y^2 - 14y + 49 = 16 * (x^2 + 4x + 4 + y^2 - 2y + 1)

Распишем умножение:

x^2 - 10x + 25 + y^2 - 14y + 49 = 16x^2 + 64x + 64 + 16y^2 - 32y + 16

Теперь приведем подобные члены и перенесем все в левую часть уравнения:

0 = 16x^2 + x^2 - 10x - 64x + 25 - 64 - 16 + 16y^2 + y^2 - 14y + 32y - 49

0 = 17x^2 - 74x + 17y^2 + 18y - 122

Итак, уравнение искомой линии, каждая точка M которой удовлетворяет заданным условиям, это:

17x^2 - 74x + 17y^2 + 18y - 122 = 0