Question

Помогите решить уравнение!!! sin^4 x+sin^4 (p/4+x)+sin^4 (x-p/4)=0,5

Answer 1

sin⁴x + sin⁴( п/4 + x ) + sin⁴( х - п/4 ) = 1/2

Преобразуем данное выражение, упростив слагаемые, то есть рассмотрев каждое из слагаемых:

▪sin⁴( x + п/4 ) = (  sin( x + п/4 )  )⁴ = ( V2/2•sinx + V2/2•cosx  )⁴ = (  V2/2•( sinx + cosx )  )⁴ = 1/4 • ( sinx + cosx )⁴ = 1/4 • (  ( sinx + cosx )²  )² = 1/4 • ( 1 + sin2x )² = 1/4 • ( 1 + 2sin2x + sin²2x ) = 1/4 + sin2x/2 + sin²2x/4

▪sin⁴( x - п/4 ) = (  sin( x - п/4 )  )⁴ = (  V2/2•sinx - V2/2•cosx  )⁴ = (  V2/2•( sinx - cosx )  )⁴ = 1/4 • ( sinx - cosx )⁴ =  1/4 • (  ( sinx - cosx )²  )² = 1/4 • ( 1 - sin2x )² = 1/4 • ( 1 - 2sin2x + sin²2x ) = 1/4 - sin2x/2 + sin²2x/4

sin⁴x  + 1/4 + sin2x/2 + sin²2x/4 + 1/4 - sin2x/2 + sin²2x/4 = 1/2

sin⁴x + sin²2x/2 = 0

2sin⁴x + ( 2sinx•cosx )² = 0

2sin⁴x + 4sin²x•cos²x = 0

2sin²x • ( sin²x + 2cos²x ) = 0

1)  2sin²x = 0   ⇒  sinx = 0  ⇒  x = пn , n ∈ Z

2)  sin²x + 2cos²x = 0  ,  делим обе части на cos²x ≠ 0

tg²x + 2 = 0

tg²x = - 2  ⇒  не имеет смысла  ∅

Ответ: х = пn , n ∈ Z

Answer 2

Давайте решим уравнение шаг за шагом. Имеем:

sin^4(x) + sin^4(p/4 + x) + sin^4(x - p/4) = 0.5

Прежде чем продолжить, заметим, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1, что может нам пригодиться.

1. Преобразуем выражение в термины sin^2(x): Так как sin^2(x) = (sin^2(x))^2, то мы можем заменить sin^4(x) на (sin^2(x))^2: (sin^2(x))^2 + sin^4(p/4 + x) + sin^4(x - p/4) = 0.5

2. Заменим sin^4(p/4 + x) и sin^4(x - p/4) через тригонометрические формулы: Используем формулу: sin^2(a) = (1 - cos(2a))/2

(sin^2(x))^2 + [(1 - cos(2(p/4 + x)))/2]^2 + [(1 - cos(2(x - p/4)))/2]^2 = 0.5

3. Упростим выражения: (sin^2(x))^2 + [(1 - cos(2(p/4 + x)))^2]/4 + [(1 - cos(2(x - p/4)))^2]/4 = 0.5

4. Заметим, что у нас есть три слагаемых с квадратами sin^2(x), которые мы можем объединить в одно квадратное уравнение: (sin^2(x))^2 + (1/4) * [(1 - cos(2(p/4 + x)))^2 + (1 - cos(2(x - p/4)))^2] = 0.5

5. Заменим cos(2(p/4 + x)) и cos(2(x - p/4)) через тригонометрические формулы: cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b) cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)

Тогда получим: (cos(p/4)cos(x) - sin(p/4)sin(x))^2 + (cos(x)cos(p/4) + sin(x)sin(p/4))^2 = 2

6. Упростим выражения в квадратах: cos^2(p/4)cos^2(x) - 2cos(p/4)sin(p/4)cos(x)sin(x) + sin^2(p/4)sin^2(x) + cos^2(x)cos^2(p/4) + 2cos(p/4)sin(p/4)cos(x)sin(x) + sin^2(x)sin^2(p/4) = 2

7. Заметим, что некоторые слагаемые в сумме сокращаются: cos^2(p/4)cos^2(x) + sin^2(p/4)sin^2(x) + cos^2(x)cos^2(p/4) + sin^2(x)sin^2(p/4) = 2

8. Используем тригонометрическую тождество sin^2(a) + cos^2(a) = 1: cos^2(p/4)cos^2(x) + (1 - cos^2(p/4))sin^2(x) + cos^2(x)cos^2(p/4) + (1 - cos^2(x))sin^2(p/4) = 2

9. Упростим дальше: cos^2(p/4)cos^2(x) + sin^2(x) - cos^2(p/4)sin^2(x) + cos^2(x)cos^2(p/4) + sin^2(p/4) - cos^2(x)sin^2(p/4) = 2

10. Заметим, что некоторые слагаемые сокращаются: sin^2(x) + sin^2(p/4) = 2

11. Заменим sin^2(p/4) на 1/2 (так как sin^2(p/4) = (1 - cos(p/2))/2 = 1/2): sin^2(x) + 1/2 = 2

12. Избавимся от константы: sin^2(x) = 2 - 1/2

13. Вычислим sin^2(x): sin^2(x) = 3/2

14. Возьмем квадратный корень с обеих сторон (учитывая, что sin^2(x) всегда положительно): sin(x) = ±√(3/2)

15. Так как sin(x) находится в интервале [-1, 1], то уравнение не имеет решений в действительных числах.

Итак, уравнение sin^4(x) + sin^4(p/4 + x) + sin^4(x - p/4) = 0.5 не имеет действительных решений. Возможно, оно имеет комплексные решения, но это было бы более сложно проверить.