Question

Вычислить интеграл. В верху интеграла 3 внизу 0 |x-2| dx.

Answer 1

4,5, просто берём первообразную от фунции x - 2, она равна x^2 / 2 и получаем выражение 9 / 2 - 0 = 4,5

Answer 2

Для вычисления интеграла $\int_{0}^{3} |x-2| \, dx$ можно разбить его на два подынтегральных промежутка, где модуль функции будет постоянным:

1. Когда $x \leq 2$: $|x-2| = 2 - x$
2. Когда $x > 2$: $|x-2| = x - 2$

Теперь вычислим интегралы на каждом из этих промежутков и сложим результаты:

1. Для $0 \leq x \leq 2$: $\int_{0}^{2} |x-2| \, dx = \int_{0}^{2} (2-x) \, dx = \left[2x - \frac{x^2}{2}\right]_{0}^{2} = \left[2 \cdot 2 - \frac{2^2}{2}\right] - \left[2 \cdot 0 - \frac{0^2}{2}\right] = 4 - 2 = 2$

2. Для $2 < x \leq 3$: $\int_{2}^{3} |x-2| \, dx = \int_{2}^{3} (x-2) \, dx = \left[\frac{x^2}{2} - 2x\right]_{2}^{3} = \left[\frac{3^2}{2} - 2 \cdot 3\right] - \left[\frac{2^2}{2} - 2 \cdot 2\right] = \left[\frac{9}{2} - 6\right] - \left[2 - 4\right] = \frac{9}{2} - 6 + 2 - 4 = -\frac{3}{2}$

Теперь сложим результаты для каждого промежутка: $\int_{0}^{3} |x-2| \, dx = \int_{0}^{2} |x-2| \, dx + \int_{2}^{3} |x-2| \, dx = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$