Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=x^3-3x^2-9x+25 на отрезке [-4;4]

Answer 1

D(f)= R
f'(x)=3x²-6x-9 = 3(x²-2x-3)
Производная существует во всех точках
х²-2х-3 =0
D= 4+12=16
x1= 3
x2= -1
Обе точки входят в наш промежуток [-4:4]
поэтому :
f(-4)= -64 -3*16 +36+25= -63
f(-1) = -1 -3*1 +9 +25 = 30
f(3)= 27 - 3*9 -3*9 +25 = -2
f(4) = 64 - 3*16 -9*4 +25 = 5
$f_{max[-4;4]} = - 1$
$f_{ min[-4;4]} = -4$

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции y = x^3 - 3x^2 - 9x + 25 на отрезке [-4; 4], нужно следовать следующим шагам:

1. Найдите критические точки функции на данном интервале, это будут точки, где производная функции равна нулю или не существует.
2. Оцените значения функции в найденных критических точках и на границах интервала.
3. Сравните полученные значения, чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на данном отрезке.

Шаг 1: Найдем производную функции y = x^3 - 3x^2 - 9x + 25: y' = 3x^2 - 6x - 9.

Шаг 2: Найдем критические точки, приравняв производную к нулю и решив уравнение: 3x^2 - 6x - 9 = 0.

Факторизуем уравнение: 3(x^2 - 2x - 3) = 0.

Теперь решим квадратное уравнение: x^2 - 2x - 3 = 0.

(x - 3)(x + 1) = 0.

x = 3 или x = -1.

Шаг 3: Оценим значения функции в найденных критических точках и на границах интервала [-4; 4].

a) Подставим x = -4: y = (-4)^3 - 3(-4)^2 - 9(-4) + 25 = -64 - 48 + 36 + 25 = -51.

b) Подставим x = -1 (критическая точка): y = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 25 = -1 - 3 + 9 + 25 = 30.

c) Подставим x = 3 (критическая точка): y = 3^3 - 3(3)^2 - 9(3) + 25 = 27 - 27 - 27 + 25 = -2.

d) Подставим x = 4: y = 4^3 - 3(4)^2 - 9(4) + 25 = 64 - 48 - 36 + 25 = 5.

Наибольшее значение функции на данном интервале: 30 (достигается в точке x = -1). Наименьшее значение функции на данном интервале: -51 (достигается в точке x = -4).