Question

В какой момент времени ускорение движущейся точки будет равно 2см/с^2 , если тело движется прямолинейно по закону x(t)=3t^2+9lnt+7 , где x(t) - путь в сантиметрах, t - время в секундах

Answer 1

Ускорение - это вторая производная от пути по времени.

x(t) = 3t² + 9lnt + 7

$x'(t)=3(t^{2})'+9(lnt)'+7'=6t+9*\frac{1}{t}=6t+\frac{9}{t}\\\\x''(t)=6(t)'+9(\frac{1}{t})'=6-\frac{9}{t^{2}}\\\\6-\frac{9}{t^{2} }=2\\\\\frac{9}{t^{2}}=4\\\\t^{2}=\frac{9}{4}\\\\t=1,5$

Answer 2

Для нахождения момента времени, когда ускорение равно 2 см/с^2, мы должны найти производную функции пути x(t) два раза и приравнять её к 2 см/с^2. Так как путь дан в сантиметрах, а время в секундах, необходимо преобразовать ускорение из см/с^2 в см/сек^2 (так как 1 см = 0.01 м, а 1 секунда = 1 с).

Шаг 1: Найдем ускорение (a(t)) как вторую производную функции пути x(t):

x(t) = 3t^2 + 9ln(t) + 7

Получаем первую производную:

v(t) = dx(t)/dt = d(3t^2 + 9ln(t) + 7)/dt v(t) = 6t + 9/t

Теперь найдем вторую производную:

a(t) = dv(t)/dt = d(6t + 9/t)/dt a(t) = 6 - 9/t^2

Шаг 2: Приравняем ускорение a(t) к 2 см/сек^2 и решим уравнение:

6 - 9/t^2 = 2

Переносим 2 влево:

9/t^2 = 6 - 2

9/t^2 = 4

Теперь найдем t^2:

t^2 = 9/4

t = ±√(9/4) = ±(3/2)

Так как время не может быть отрицательным, берем положительное значение времени:

t = 3/2 = 1.5 секунды

Итак, ускорение точки будет равно 2 см/с^2 в момент времени t = 1.5 секунды.