Question

Log4x(64) <= log2x(8)+logx(2). Предоставьте, пожалуйста решение, самое главное - нужен ответ. Т.к. я решил, но видимо, где то ошибся

Answer 1

Ответ на фото/////////////////

Answer 2

Давайте решим данное уравнение:

Log4(x) <= log2(x)(8) + log(x)(2)

Для начала, преобразуем логарифмы с разными основаниями к общему основанию, например, к основанию 10:

Log4(x) = log(x) / log(4) Log2(x) = log(x) / log(2)

Теперь перепишем уравнение с учетом этой замены:

log(x) / log(4) <= (log(x) / log(2)) * 8 + log(x) / log(2)

Теперь приведем все логарифмы к общему знаменателю:

log(x) / log(4) <= (8 * log(x) + log(x)) / log(2)

Далее, избавимся от знаменателя, умножив обе стороны на log(2) * log(4):

log(2) * log(4) * log(x) <= (8 * log(x) + log(x)) * log(4)

Теперь раскроем скобки:

log(2) * log(4) * log(x) <= 8 * log(4) * log(x) + log(4) * log(x)

Теперь вынесем log(x) за скобку:

log(2) * log(4) * log(x) - log(4) * log(x) <= 8 * log(4) * log(x)

Теперь вынесем log(x) как общий множитель:

log(x) * (log(2) * log(4) - log(4)) <= 8 * log(4) * log(x)

Сократим log(4) внутри скобок:

log(x) * (log(2) * log(4) - log(4)) <= 8 * log(2) * log(4)

Теперь разделим обе стороны на (log(2) * log(4) - log(4)):

log(x) <= 8 * log(2) * log(4) / (log(2) * log(4) - log(4))

Теперь остается вычислить правую часть неравенства:

log(2) * log(4) = log(2) * (log(2)^2) = 2 * (log(2))^3

Подставим обратно:

log(x) <= 8 * 2 * (log(2))^3 / (2 * (log(2))^3 - log(4))

Теперь упростим выражение:

log(x) <= 16 * (log(2))^3 / ((log(2))^3 - log(4))

Для дальнейшего упрощения, обратим внимание, что:

log(4) = 2 * log(2)

Подставим обратно:

log(x) <= 16 * (log(2))^3 / ((log(2))^3 - 2 * log(2))

Теперь общий знаменатель:

log(x) <= 16 * (log(2))^3 / ((log(2))^3 - 2 * log(2))

Теперь умножим числитель и знаменатель на (log(2))^3:

log(x) <= 16 * (log(2))^3 * (log(2))^3 / (((log(2))^3 - 2 * log(2)) * (log(2))^3)

Сократим (log(2))^3 в числителе и знаменателе:

log(x) <= 16 * 1 / (1 - 2 * log(2))

Теперь вычислим 2 * log(2):

2 * log(2) = log(2^2) = log(4)

Подставим обратно:

log(x) <= 16 / (1 - log(4))

Теперь вычислим log(4):

log(4) = 2 * log(2)

Подставим обратно:

log(x) <= 16 / (1 - 2 * log(2))

Теперь оценим значение 2 * log(2):

2 * log(2) ≈ 2 * 0.301 ≈ 0.602

Теперь вычислим 1 - 2 * log(2):

1 - 2 * log(2) ≈ 1 - 0.602 ≈ 0.398

Теперь найдем обратное значение:

1 / (1 - 2 * log(2)) ≈ 1 / 0.398 ≈ 2.513

Теперь вычислим окончательный результат:

log(x) <= 16 / 2.513 ≈ 6.37

Ответ: log(x) должен быть меньше или равен 6.37.

Можете проверить свои расчеты с данным решением. Если у вас остались сомнения или вопросы, не стесняйтесь спрашивать!