Question

Выразить: а) tg 3a через tg a; б) sin 5a через sin a

Answer 1

$tg3\alpha=tg(2\alpha+\alpha)=\frac{tg2\alpha+tg\alpha}{1-tg2\alpha*tg\alpha}=\frac{\frac{2tg\alpha}{1-tg^{2}\alpha}+tg\alpha}{1-\frac{2tg\alpha }{1-tg^{2}\alpha}*tg\alpha}=\frac{2tg\alpha+tg\alpha(1-tg^{2}\alpha)}{1-tg^{2}\alpha-2tg^{2}\alpha}=\frac{3tg\alpha-tg^{3}\alpha}{1-3tg^{2}\alpha}$

Sin5α = Sin(3α + 2α) = Sin3αCos2α + Sin2αCos3α = (3Sinα - 4Sin³α)(1 - Sin²α) + (4Cos³α - 3Cosα)*2SinαCosα = 3Sinα - 6Sin³α -4Sin³α + 8Sin⁵α + 2SinαCos²α(4Cos²α - 3) = 3Sinα - 10Sin³α + 8Sin⁵α +2Sinα(1 - Sin²α)(4 - 4Sin²α - 3 = 3Sinα - 10Sin³α + 8Sin⁵α + (2Sinα - 2Sin³α)(1 - 4Sin²α) = 3Sinα - 10Sin³α + 8Sin1⁵α +2Sinα - 8Sin³α - 2Sin³α + 8Sin⁵α = 5Sinα - 20Sin³α + 16Sin⁵α

Answer 2

а) Используем формулу тангенса утроенного аргумента:

tg(3a) = tg(a + 2a) = (tg(a) + tg(2a)) / (1 - tg(a) * tg(2a))

Используем известные формулы:

tg(2a) = 2 * tg(a) / (1 - tg^2(a))

Подставляем в первое уравнение:

tg(3a) = (tg(a) + 2 * tg(a) / (1 - tg^2(a))) / (1 - tg(a) * 2 * tg(a) / (1 - tg^2(a)))

Берем общий знаменатель и упрощаем выражение:

tg(3a) = (tg(a) * (1 - tg^2(a)) + 2 * tg(a)) / (1 - 2 * tg^2(a))

b) Используем формулу синуса пятикратного аргумента:

sin(5a) = 5 * sin(a) - 20 * sin^3(a) + 16 * sin^5(a)

Это уравнение представляет собой разложение синуса пятикратного аргумента через степени синуса аргумента a.