Question

Найти возрастание и убывание производных f(x)= все под корнем 4x-x^2

Answer 1

$f(x)=\sqrt{4x-x^2}\\f'(x)=\frac{(4x-x^2)'}{2\sqrt{4x-x^2}}=\\\frac{4-2x*1}{2\sqrt{4x-x^2}}=\frac{-(x-2)}{\sqrt{4x-x^2}};\\4x-x^2>0; x^2-4x0$

Когда производная положительная - функция возрастает, а производная убывает (т.к. через вторую производную мы нашли, что кривая всегда выпуклая и первая производная равна тангенсу угла касательной к точке функции), когда отрицательная производная - функция убывает, а производная уменьшается (всегда выпуклая кривая).

Ответ: функция : возрастает - (0;2); убывает - (2;4)

            производная убывает - (0;4)

Answer 2

Для нахождения возрастания и убывания производных функции f(x) = √(4x - x^2), мы сначала найдем первую производную и затем проанализируем ее знак на определенных интервалах.

Шаг 1: Найдем первую производную f'(x):

Для этого применим правило дифференцирования функции вида √u, где u = 4x - x^2:

f'(x) = [√u]' = (1/2) * u^(-1/2) * u',

где u' - производная функции u по x.

u' = d/dx(4x - x^2) = 4 - 2x.

Подставим это обратно в формулу для f'(x):

f'(x) = (1/2) * (4x - x^2)^(-1/2) * (4 - 2x).

Шаг 2: Анализ знака производной f'(x) и определение интервалов возрастания и убывания.

Для определения интервалов возрастания и убывания производной f'(x), найдем точки, где f'(x) = 0, и применим тестирование интервалов.

f'(x) = (1/2) * (4x - x^2)^(-1/2) * (4 - 2x) = 0.

Для того чтобы выяснить значения x, при которых f'(x) = 0, решим уравнение:

(4x - x^2)^(-1/2) * (4 - 2x) = 0.

Так как (4x - x^2)^(-1/2) никогда не равен 0 (поскольку корень не может быть равен нулю), у нас остается уравнение:

4 - 2x = 0.

Решаем это уравнение:

2x = 4,

x = 2.

Теперь, чтобы определить интервалы возрастания и убывания, возьмем тестовые точки в каждой из трех областей, созданных этой точкой x = 2, например: x = 0, x = 1, и x = 3.

Шаг 3: Анализ знака производной f'(x) на интервалах:

a) Подставим x = 0 в f'(x):

f'(0) = (1/2) * (4 * 0 - 0^2)^(-1/2) * (4 - 2 * 0) = 2 > 0.

b) Подставим x = 1 в f'(x):

f'(1) = (1/2) * (4 * 1 - 1^2)^(-1/2) * (4 - 2 * 1) = 0.

c) Подставим x = 3 в f'(x):

f'(3) = (1/2) * (4 * 3 - 3^2)^(-1/2) * (4 - 2 * 3) = -2 < 0.

Шаг 4: Выводы:

• На интервале (-∞, 2) производная f'(x) положительна, что означает, что функция f(x) возрастает на этом интервале.
• В точке x = 2 производная f'(x) обращается в ноль.
• На интервале (2, +∞) производная f'(x) отрицательна, что означает, что функция f(x) убывает на этом интервале.

Таким образом, функция f(x) возрастает на интервале (-∞, 2) и убывает на интервале (2, +∞).