Question

Найдите точку минимума функции х√х-3х+1=0

Answer 1

Продифференцируем данную функцию:

$\frac{d}{dx} (x \sqrt{x} - 3x + 1) = \frac{d}{dx} (x \sqrt{x} ) + \frac{d}{dx} ( - 3x) + \frac{d}{dx} (1) = \sqrt{x} + x \times \frac{1}{2 \sqrt{x} } - 3 = \frac{3 \sqrt{x} }{2} - 3$

Приравняем её к нулю:

$\frac{3 \sqrt{x} }{2} - 3 = 0 \\ 3 \sqrt{x} = 6 \\ \sqrt{x} = 2 \\ x = 4$

Именно в этой точке аргумент находится в минимуме.

Ответ: 4

Answer 2

Для нахождения точки минимума функции, нужно сначала найти её производную и приравнять её к нулю. Затем решим полученное уравнение, чтобы найти критические точки функции. После этого, используем вторую производную для определения, является ли каждая критическая точка точкой минимума.

Исходная функция: f(x) = x√x - 3x + 1

Шаг 1: Найдем производную функции f(x): f'(x) = (d/dx) (x√x) - (d/dx) (3x) + (d/dx) (1) f'(x) = (1/2)√x + (x/2√x) - 3

Шаг 2: Приравняем производную к нулю и найдем критические точки: (1/2)√x + (x/2√x) - 3 = 0

Умножим уравнение на 2√x, чтобы избавиться от знаменателя: √x + x - 6√x = 0

Теперь объединим подобные слагаемые: x + √x(1 - 6) = 0 x - 5√x = 0

Шаг 3: Решим уравнение для x: x = 5√x

Возводим обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня: x^2 = 25x

Шаг 4: Перенесем все в одну сторону и решим уравнение: x^2 - 25x = 0

Теперь выражение факторизуется: x(x - 25) = 0

Отсюда получаем два значения x:

1. x = 0
2. x = 25

Шаг 5: Для определения, является ли каждая критическая точка точкой минимума, воспользуемся второй производной.

Возьмем вторую производную функции f(x): f''(x) = (d/dx) ((1/2)√x + (x/2√x) - 3) f''(x) = (d/dx) ((1/2)√x) + (d/dx) ((x/2√x)) f''(x) = (1/4)(1/√x) + (1/2√x) + (1/2)(x/√x^3) f''(x) = (1/4)(1/√x) + (1/2√x) + (1/2)(x/√x^3)

Теперь подставим найденные критические точки x = 0 и x = 25 во вторую производную:

Для x = 0: f''(0) = (1/4)(1/√0) + (1/2√0) + (1/2)(0/√0^3) Так как здесь имеем деление на ноль, то это не допустимо. Значит, x = 0 не является критической точкой.

Для x = 25: f''(25) = (1/4)(1/√25) + (1/2√25) + (1/2)(25/√25^3) f''(25) = (1/4)(1/5) + (1/10) + (1/2)(25/125) f''(25) = (1/20) + (1/10) + (1/10) f''(25) = 1/20 + 2/20 + 2/20 f''(25) = 5/20 f''(25) = 1/4

Так как вторая производная положительна при x = 25, это означает, что функция находится в точке минимума при x = 25.

Итак, точка минимума функции f(x) = x√x - 3x + 1 равна x = 25. Значение функции в этой точке: f(25) = 25√25 - 325 + 1 f(25) = 255 - 75 + 1 f(25) = 125 - 75 + 1 f(25) = 51