Question

Почему в данном случае обе части уравнения нельзя делить на cosx? 2cosxsinx=cosx

Answer 1

$2cosx\cdot sinx=\sqrt2\cdot cosx$

Если уравнение делить на cosx, то надо оговориться, что  $cosx\ne 0$ , так как на 0 делить нельзя. В силу этого можно потерять корни уравнения, при которых cosx обращается в 0, это  $x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in Z$ . Тогда надо отдельно проверить, не являются ли  $x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in Z$  корнями заданного уравнения, подставив их в это уравнение.

$2cosx\cdot sinx=\sqrt2\cdot cosx\; |:cosx\ne 0\; \to \; x\ne \frac{\pi }{2}+\pi n,\; n\in Z\\\\2sinx=\sqrt2\; \; \to \; \; sinx=\frac{\sqrt2}{2}\; ,\; \; x=(-1)^{n}\cdot \frac{\pi}{4}+\pi k,\; k\in Z\\\\x=\frac{\pi}{2}+\pi n:\; \; 2cos(\frac{\pi}{2}+\pi n)\cdot sin(\frac{\pi}{2}+\pi n)=\sqrt2\cdot cos(\frac{\pi}{2}+\pi n)\; ,\\\\2\cdot 0\cdot (\pm 1)=\sqrt2\cdot 0\; ,\\\\0=0$

Так как получили верное равенство, то  $x=\frac{\pi}{2}+\pi n$  являются корнями заданного уравнения.

$P.S.\; \; \; \; sin(\frac{\pi}{2}+\pi n)=\left [ {{sin(\frac{\pi}{2}+2\pi n)=+1\; ,} \atop {sin(\frac{3\pi}{2}+2\pi n)=-1\; .}} \right.$

Чтобы не проводить лишнюю проверку , при решении уравнения надо просто вынести общий множитель cosx за скобку, тогда сразу получим две серии решений:

$2\, cosx\cdot sinx-\sqrt2\cdot cosx=0\\\\cosx\cdot (2\, sinx-\sqrt2)=0\; \; \Rightarrrow \\\\cosx=0\quad ili\quad \; \; 2\, sinx-\sqrt2=0\\\\x=\frac{\pi }{2}+\pi n\; ,\; n\in Z\quad ili\quad sinx=\frac{\sqrt2}{2}\; ,\; \; x=(-1)^{k}\cdot \frac{\pi}{4}+\pi k\; ,\; k\in Z\\\\Otvet:\; \; x=\frac{\pi }{2}+\pi n\; ,\; \; x=(-1)^{k}\cdot \frac{\pi}{4}+\pi k\; ,\; \; n,k\in Z\; .$

Answer 2

В данном случае обе части уравнения нельзя просто так поделить на cosx, потому что мы не знаем заранее, равно ли cosx нулю. Если бы мы поделили обе части на cosx, то было бы необходимо рассмотреть два случая:

1. Когда cosx ≠ 0: Если бы мы поделили обе части на cosx, получили бы: 2sinx = 1 Теперь можно было бы решить уравнение относительно sinx, получить его значение и затем находить соответствующее значение cosx (если sinx известно, то cosx = ±√(1 - sin^2x)).

2. Когда cosx = 0: Если бы мы поделили обе части на cosx, получили бы: 2sinx/cosx = 1/cosx Но деление на ноль недопустимо и деление на cosx ведет к этому, когда cosx равен нулю.

В итоге, чтобы правильно решить уравнение, нужно рассмотреть оба случая по отдельности и не делить на cosx до тех пор, пока не будут выяснены значения cosx или sinx, либо пока не будет найдено другое подходящее решение.