Question

Найдите производные функций. В пункте а) найти вторую производную f(x)=x2(tgx+1)

Answer 1

f(x)=x²×(tgx+1)

f'(x)=(x²)'×(tgx+1)+ x²×(tgx+1)'=

2x×(tgx+1)+x²/cos²x

f''(x)=(2x×(tgx+1)+x²/cos²x)'=

2×(tgx+1)+2x/cos²x+(2x×cos²x-x²×2cosx×(-sinx))/(cosx)^4=

2×(tgx+1)+2x/cos²x+(2x×cos²x+x²×sin2x)/(cosx)^4

Ответ: f"(x)=2×(tgx+1)+2x/cos²x+(2x×cos²x+x²×sin2x)/(cosx)^4

Answer 2

Для нахождения второй производной функции f(x) = x^2(tan(x) + 1), сначала найдем первую производную, а затем возьмем ее производную снова. Для этого выполним следующие шаги:

Шаг 1: Найдем первую производную f'(x): Для нахождения производной произведения функций применим правило производной произведения (Product Rule) (uv)' = u'v + uv':

Пусть u = x^2 и v = tan(x) + 1.

Тогда u' = 2x (производная x^2) и v' = sec^2(x) (производная tan(x) + 1).

Теперь применим правило производной произведения:

f'(x) = u'v + uv' = (2x)(tan(x) + 1) + x^2(sec^2(x))

Таким образом, первая производная f'(x) равна: f'(x) = 2x(tan(x) + 1) + x^2(sec^2(x))

Шаг 2: Найдем вторую производную f''(x):

Для этого возьмем производную от первой производной f'(x):

f''(x) = (2(tan(x) + 1)) + (2x(sec^2(x))) + (x^2(2sec(x) * sec(x)tan(x)))

Упростим выражение:

f''(x) = 2(tan(x) + 1) + 2x(sec^2(x)) + 2x^2(sec(x))^2tan(x)

Таким образом, вторая производная f''(x) равна: f''(x) = 2(tan(x) + 1) + 2x(sec^2(x)) + 2x^2(sec(x))^2tan(x)