Question

Помогите решить уравнения используя метод переменной и сводя его к квадратному sinx-2sinxcosx=04+5cosx-2sin2x=0​

Answer 1

1.

sinx·(1-2cosx)=0

sinx=0 ⇒ x=πk,k∈Z

или

1-2cosx=0 ⇒  cosx=1/2 ⇒x=± arccos(1/2)+2πn, n∈Z

x=±(π/3)+2πn, n∈Z

О т в е т. πk,k∈Z;  ± (π/3)+2πn, n∈Z

2.

sin^2x=1-cos^2x

4-5cosx-2·(1-cos²x)=0

2cos²x-5cosx+2=0

Квадратное относительно сosx

Замена переменной

cosx=t

cos²x=t^2

2t^2-5t+2=0

D=25-4·2·2=9

t₁=(5-3)/4=1/2   или    t₂=(5+3)/4=2

Обратный переход

сosx=1/2

x=± arccos(1/2)+2πn, n∈Z

x=± (π/3)+2πn, n∈Z

cosx=2

уравнение не имеет корней, так как функция у=сosx и принимает значения от -1 до 1, никогда не принимает значение 2.

О т в е т. ± (π/3)+2πn, n∈Z

Answer 2

Для решения данных уравнений методом переменной, давайте обозначим sin(x) за a и cos(x) за b. Замена переменных поможет нам привести уравнения к квадратному виду. Теперь у нас есть следующие уравнения:

1. a - 2ab = 0 ...........(1)
2. 4 + 5b - 2a^2 = 0 ...........(2)

Давайте решим первое уравнение (1) относительно a:

a = 2ab

Теперь решим второе уравнение (2) относительно b:

4 + 5b - 2a^2 = 0

Подставим значение a из первого уравнения во второе:

4 + 5b - 2(2ab)^2 = 0 4 + 5b - 8a^2b^2 = 0 4 + 5b - 8a^2b^2 = 0

Теперь у нас есть уравнение относительно b. Мы можем решить его, приведя его к квадратному виду.

Перепишем уравнение:

8a^2b^2 + 5b - 4 = 0

Теперь это уравнение квадратного вида вида ax^2 + bx + c = 0, где a = 8a^2, b = 5 и c = -4.

Решим уравнение относительно b, используя квадратное уравнение:

b = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

b = (-5 ± √(5^2 - 4 * 8a^2 * (-4))) / 2 * 8a^2

b = (-5 ± √(25 + 128a^2)) / 16a^2

Таким образом, у нас получилось два значения для b в зависимости от a.

Теперь, чтобы найти значения a, подставим полученные значения b обратно в уравнение (1):

a = 2ab

1. При b = (-5 + √(25 + 128a^2)) / 16a^2:

a = 2 * ((-5 + √(25 + 128a^2)) / 16a^2)

2. При b = (-5 - √(25 + 128a^2)) / 16a^2:

a = 2 * ((-5 - √(25 + 128a^2)) / 16a^2)

Решая эти уравнения для a, можно получить значения a и b, а затем восстановить значения sin(x) и cos(x). Однако этот процесс может быть достаточно сложным и требовательным к времени, и я могу лишь предоставить вам общий подход. Если у вас есть конкретные значения или хотите дополнительную помощь, пожалуйста, дайте знать!