Question

Докажите что а) если a≤b и с - произвольное число то a+c≤b+c б) если а≤b и с - положительное число, то ас≤bс в) если а≤b и с - отрицательное чисто, то ас≥bc

Answer 1

а)Пусть а ≤ b. Это означает, что а — b ≤ 0. Поэтому (а + с) — (b + с) ≤ 0. А по определению это и означает, что а + с ≤ b + с.

б)Пусть а ≤ b.Произведение отрицательного чисел а — b и положительного с, очевидно, также отрицательно, т. е. (а — b) с ≤ 0, или

ас — bс ≤ 0. Поэтому ас ≤ bс.

в)Пусть а ≤ b. Произведение двух отрицательных чисел а — b и с, очевидно, положительно, т. е.

(а — b) с ≥ 0; поэтому ас — bс ≥ 0, откуда ас ≥ bс.

Answer 2

Для доказательства этих утверждений, воспользуемся свойствами неравенств.

а) Если $a \leq b$ и $c$ - произвольное число, то докажем, что $a + c \leq b + c$:

Исходное неравенство: $a \leq b$

Добавим $c$ к обеим сторонам неравенства:

$a + c \leq b + c$

Таким образом, мы получили неравенство $a + c \leq b + c$, что и требовалось доказать.

б) Если $a \leq b$ и $c$ - положительное число, то докажем, что $ac \leq bc$:

Исходное неравенство: $a \leq b$

Умножим обе стороны на положительное число $c$, помня о том, что умножение на положительное число не меняет направление неравенства:

$ac \leq bc$

Таким образом, мы получили неравенство $ac \leq bc$, что и требовалось доказать.

в) Если $a \leq b$ и $c$ - отрицательное число, то докажем, что $ac \geq bc$:

Исходное неравенство: $a \leq b$

Умножим обе стороны на отрицательное число $c$, помня о том, что умножение на отрицательное число меняет направление неравенства:

$ac \geq bc$

Таким образом, мы получили неравенство $ac \geq bc$, что и требовалось доказать.

Это завершает доказательство всех трех утверждений.