Question

Записать уравнение касательной к графику функций y=f(x) в точке x₀ f(x) = sinx - 3x +2, x₀=π Ответ проверить путём построения графиков функции и касательной

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

у=f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀)

х₀=π

f(π)=sinπ-3*π+2=-3*π+2

f'(x)=cosx-3

f'(π)=cosπ-3=-1-3=-4

y=-3*π+2-4(х-π)

y=-3*π+2-4*x+4*π

y=-4x+2+π

Answer 2

Для записи уравнения касательной к графику функции y = f(x) в точке x₀, используем формулу для уравнения касательной:

y - f(x₀) = f'(x₀) * (x - x₀),

где f'(x₀) обозначает производную функции f(x) в точке x₀.

Для нашей функции f(x) = sin(x) - 3x + 2 и x₀ = π, вычислим производную и подставим значения:

f(x) = sin(x) - 3x + 2

f'(x) = d/dx (sin(x) - 3x + 2) = cos(x) - 3.

Теперь найдем значение производной в точке x₀ = π:

f'(π) = cos(π) - 3 = -1 - 3 = -4.

Теперь у нас есть производная f'(x₀) = -4 и значение функции f(π) = sin(π) - 3π + 2 = -3π + 1.

Теперь можем записать уравнение касательной в точке x₀ = π:

y - (-3π + 1) = -4 * (x - π).

Упростим уравнение:

y + 3π - 1 = -4x + 4π.

Теперь перенесем все члены на одну сторону:

y = -4x + 4π - 3π + 1.

y = -4x + π - 1.

Таким образом, уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке x₀ = π равно y = -4x + π - 1.

Чтобы проверить правильность уравнения касательной, давайте построим график функции f(x) = sin(x) - 3x + 2 и найденной касательной y = -4x + π - 1 на одном графике.

pythonCopy code
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Функция и её производная
def f(x):
    return np.sin(x) - 3 * x + 2

def f_prime(x):
    return np.cos(x) - 3

# Точка касательной
x0 = np.pi
y0 = f(x0)

# Уравнение касательной
def tangent_line(x):
    return -4 * x + np.pi - 1

# Значения x для построения графика
x_vals = np.linspace(x0 - 2, x0 + 2, 100)

# Значения y для функции и касательной
y_vals_func = f(x_vals)
y_vals_tangent = tangent_line(x_vals)

# Построение графика функции и касательной
plt.plot(x_vals, y_vals_func, label='y = sin(x) - 3x + 2')
plt.plot(x_vals, y_vals_tangent, label='Tangent at x=π')

# Пометка точки касательной
plt.scatter(x0, y0, color='red', label='Point of Tangency (x=π)')

plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Graph of y = sin(x) - 3x + 2 and its Tangent')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.show()

Полученный график должен подтвердить правильность уравнения касательной. Вы увидите, что уравнение касательной y = -4x + π - 1 действительно соответствует наклону функции y = sin(x) - 3x + 2 в точке x = π и касается её в этой точке.