Question

Найти первообразную функцию f(x), график которой проходит через точку M 1) f(x) =2x^2-3x, M(2;-3)2) f(x) =x^3, M(-1;10)3) f(x) =-x^2+x, M(2;0)4)f(x)=-x^3, M(1;3)​

Answer 1

Ответ:

1) $\frac{4x^3-9x^2-14}{6}$

2) $\frac{x^4+39}{4}$

3) $\frac{3x^2-2x^3+4}{6}$

4) $\frac{13-x^4}{4}$

Объяснение:

Сначала нужно проинтегрировать функцию f(x), чтобы найти ее первообразную, затем выразить константу и подставить вместо x и y координаты точки M:

1) $\int\limits {2x^2 - 3x} \, dx = \frac{2x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + c = \frac{4x^3-9x^2}{6} + c\\ y = \frac{4x^3-9x^2}{6} + c => c = y - \frac{4x^3-9x^2}{6}\\c = -3 - \frac{32-36}{6} = - \frac{7}{3} \\\\\\y = \frac{2x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} - \frac{7}{3} = \frac{4x^3-9x^2-14}{6}$

Первое я расписал подробно, чтобы было понятно, что происходит. Дальше будет более кратко.

2) $\int\limits {x^3} \, dx = \frac{x^4}{4} + c\\c = y - \frac{x^4}{4} = \frac{39}{4} \\ \\y = \frac{x^4+39}{4}$

3) $\int\limits{x-x^2} \, dx = \frac{3x^2-2x^3}{6} + c\\c = y - \frac{3x^2-2x^3}{6}\\c = \frac{2}{3} \\\\y = \frac{3x^2-2x^3+4}{6}$

4) $\int\limits {-x^3} \, dx = -\frac{x^4}{4} + c\\c = y + \frac{x^4}{4}\\ c = \frac{13}{4}\\ \\y = \frac{13-x^4}{4}$

(Что-то встроенный редактор формул какой-то кривой, всё перемешалось)

Answer 2

Для каждой из заданных функций найдем первообразную, проходящую через указанные точки.

1. Функция: f(x) = 2x^2 - 3x Для нахождения первообразной, возьмем интеграл от данной функции: ∫(2x^2 - 3x) dx = (2/3)x^3 - (3/2)x^2 + C

Теперь найдем константу C, используя информацию о точке M(2, -3): (2/3)(2)^3 - (3/2)(2)^2 + C = -3 (2/3)*8 - (3/2)*4 + C = -3 16/3 - 6 + C = -3 C = -3 + 6 - 16/3 C = -3/3 C = -1

Таким образом, первообразная функции f(x) = 2x^2 - 3x, проходящая через точку M(2, -3), имеет вид: F(x) = (2/3)x^3 - (3/2)x^2 - 1

2. Функция: f(x) = x^3 Интегрируем функцию: ∫x^3 dx = (1/4)x^4 + C

Используем точку M(-1, 10) для нахождения C: (1/4)*(-1)^4 + C = 10 (1/4)*1 + C = 10 C = 10 - 1/4 C = 39/4

Таким образом, первообразная функции f(x) = x^3, проходящая через точку M(-1, 10), имеет вид: F(x) = (1/4)x^4 + 39/4

3. Функция: f(x) = -x^2 + x Интегрируем функцию: ∫(-x^2 + x) dx = -(1/3)x^3 + (1/2)x^2 + C

Используем точку M(2, 0) для нахождения C: -(1/3)(2)^3 + (1/2)(2)^2 + C = 0 -(1/3)*8 + (1/2)*4 + C = 0 -8/3 + 2 + C = 0 C = 8/3 - 2 C = 2/3

Таким образом, первообразная функции f(x) = -x^2 + x, проходящая через точку M(2, 0), имеет вид: F(x) = -(1/3)x^3 + (1/2)x^2 + 2/3

4. Функция: f(x) = -x^3 Интегрируем функцию: ∫(-x^3) dx = -(1/4)x^4 + C

Используем точку M(1, 3) для нахождения C: -(1/4)*(1)^4 + C = 3 -(1/4)*1 + C = 3 C = 3 + 1/4 C = 13/4

Таким образом, первообразная функции f(x) = -x^3, проходящая через точку M(1, 3), имеет вид: F(x) = -(1/4)x^4 + 13/4

Это будут первообразные для соответствующих функций, проходящие через указанные точки.