Question

Найдите решение дифференциального уравнения y'=y/x+cos(y/x)

Answer 1

Ответ: фото.

Объяснение:

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение не является разделяющимися переменными, поэтому для его решения используем метод Лагранжа.

Шаг 1: Представим уравнение в виде z = y/x. Тогда y = zx.

Шаг 2: Теперь продифференцируем обе части уравнения по x:

y' = z'x + z.

Шаг 3: Подставим это выражение в исходное уравнение:

z'x + z = z + cos(z).

Шаг 4: Упростим уравнение:

z'x = cos(z).

Шаг 5: Теперь разделим обе части уравнения на cos(z):

z'/cos(z) = 1/x.

Шаг 6: Интегрируем обе части уравнения по x:

∫(z'/cos(z)) dx = ∫(1/x) dx.

Шаг 7: Левую часть интеграла упростим с помощью замены переменной. Пусть u = z(x):

∫(1/cos(u)) du = ∫(1/x) dx.

Шаг 8: Проинтегрируем обе части уравнения:

ln|sec(u)| = ln|x| + C,

где C - произвольная постоянная интегрирования.

Шаг 9: Вернемся к исходным переменным:

ln|sec(z)| = ln|x| + C.

Шаг 10: Перепишем уравнение с помощью экспоненты:

|sec(z)| = e^(ln|x| + C).

Шаг 11: Используем свойство логарифма: e^(ln|x| + C) = e^(ln|x|) * e^C = x * e^C.

Шаг 12: Теперь рассмотрим два случая:

• Если sec(z) > 0, то |sec(z)| = sec(z):

  sec(z) = x * e^C,

  z = arcsec(x * e^C).

• Если sec(z) < 0, то |sec(z)| = -sec(z):

  -sec(z) = x * e^C,

  sec(z) = -x * e^C.

  Но sec(z) не может быть отрицательным, поэтому это решение не подходит.

Таким образом, решением данного дифференциального уравнения y' = y/x + cos(y/x) является:

y = x * arcsec(x * e^C).