Question

Решить дифференциальное уравнение tgx*y''-y'+1/sinx=0

Answer 1

решение на фотографии.

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение выглядит как уравнение второго порядка с переменными коэффициентами. Чтобы решить его, воспользуемся методом аннигиляторов.

1. Найдем первую и вторую производные функции y(x):

Первая производная: y'(x) = d(y(x))/dx

Вторая производная: y''(x) = d^2(y(x))/dx^2

2. Подставим эти производные в исходное уравнение:

tg(x)*y'' - y' + 1/sin(x) = 0

tg(x)*(d^2(y(x))/dx^2) - d(y(x))/dx + 1/sin(x) = 0

3. Приведем уравнение к более удобному виду, избавившись от тригонометрических функций:

Умножим всё уравнение на sin(x):

tg(x)*sin(x)*y'' - sin(x)*y' + 1 = 0

4. Теперь введем замену z = y', чтобы упростить уравнение:

dy/dx = z d^2y/dx^2 = dz/dx

Тогда уравнение примет вид:

tg(x)*sin(x)*dz/dx - sin(x)*z + 1 = 0

5. Теперь решим уравнение относительно z:

dz/dx = (sin(x) - 1) / (tg(x)*sin(x))

6. Разделим числитель и знаменатель правой части уравнения на sin(x):

dz/dx = (1 - sin(x)/sin(x)) / (tg(x))

Упростим:

dz/dx = (1 - 1) / (tg(x)) dz/dx = 0

7. Заметим, что производная z по x равна нулю. Это означает, что z (то есть y') является константой. Обозначим эту константу за c:

z = y' = c

8. Теперь проинтегрируем уравнение z = c относительно x, чтобы найти y(x):

dy/dx = c

dy = c*dx

y = cx + k

где k - произвольная константа интегрирования.

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид:

y(x) = cx + k,

где c и k - произвольные константы.

Важно отметить, что так как уравнение исходной функции содержало тригонометрическую функцию tg(x) и знаменатель sin(x), решение имеет вид линейной функции (прямой линии), но с ограничениями, связанными с областью определения исходного уравнения.