Question

Cos^2 2x-8cos^2 x+7≥0 срочно пожалуйста​

Answer 1

$\cos^{2}2x - 8\cos^{2}x + 7 \geqslant 0\\(2\cos^{2}x - 1)^{2}- 8\cos^{2}x + 7 \geqslant 0\\4\cos^{4}x - 4\cos^{2}x + 1 - 8\cos^{2}x + 7 \geqslant 0\\4\cos^{4}x - 12\cos^{2}x + 8 \geqslant 0\\\cos^{4}x - 3\cos^{2}x + 2 \geqslant 0$

Замена: $\cos x = t, \ t \in [-1;\ 1]$

$t^{4} - 3t^{2} + 2 \geqslant 0\\t^{4} - 3t^{2} + 2 = 0\\\left \{ {\bigg{t^{2}_{1} + t^{2}_{2} = 3} \atop \bigg{t^{2}_{1} \cdot t^{2}_{2} = 2 \ }} \right. \\t_{1}^{2} = 1; \ t = \pm 1\\t_{2}^{2} = 2; \ t = \pm \sqrt{2}\\t \in (\infty; -\sqrt{2}] \cup [-1; \ 1] \cup [\sqrt{2}; \ +\infty )$

Так как $t \in [-1;\ 1]$, то биквадратное неравенство имеет только решение $t \in [-1;\ 1]$

Обратная замена:

$\left \{ {\bigg{\cos x \geqslant -1} \atop \bigg{\cos x \leqslant 1 \ \ }} \right. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left \{ {\bigg{x \in \mathbb{R}} \atop \bigg{x \in \mathbb{R}}} \right.$

Ответ: $x \in \mathbb{R}$

Answer 2

Для решения данного неравенства относительно косинусов, давайте обозначим cos(x) за t, чтобы упростить запись. Тогда у нас будет:

cos^2(2x) - 8cos^2(x) + 7 ≥ 0

Заменяем cos^2(2x) на (2cos^2(x) - 1) (используем тригонометрическую формулу):

(2cos^2(x) - 1) - 8cos^2(x) + 7 ≥ 0

Раскрываем скобки и сокращаем:

2cos^2(x) - 1 - 8cos^2(x) + 7 ≥ 0

-6cos^2(x) + 6 ≥ 0

Теперь разделим на -6, и помним, что при делении неравенства на отрицательное число знак меняется:

cos^2(x) - 1 ≤ 0

Далее, перенесем 1 на другую сторону:

cos^2(x) ≤ 1

Теперь вспомним, что косинус имеет значения в диапазоне [-1, 1]. Таким образом:

-1 ≤ cos(x) ≤ 1

Таким образом, неравенство верно для всех значений x, так как cos(x) всегда находится в этом диапазоне.

Ответ: неравенство выполняется для любого значения x.