Question

9. а) Решите уравнение: 2сos²x+5sinx+1=0 б) Укажите корни, принадлежащие от-резку π

Answer 1

2Cos²x + 5Sinx + 1 = 0

2(1 - Sin²x) + 5Sinx + 1 = 0

2 - 2Sin²x + 5Sinx + 1 = 0

- 2Sin²x + 5Sinx + 3 = 0

2Sin²x - 5Sinx - 3 = 0

Сделаем замену : Sinx = m , где  - 1 ≤ m ≤ 1

2m² - 5m - 3 = 0

D = (-5)² - 4 * 2 * (- 3) = 25 + 24 = 49 = 7²

$m_{1}=\frac{5-7}{4}=-\frac{1}{2}\\\\m_{2}=\frac{5+7}{4}=3$

Sinx = 3 - решений нет

$Sinx=-\frac{1}{2}\\\\1)x=arcSin(-\frac{1}{2})+2\pi n,n\in z\\\\x=-\frac{\pi }{6}+2\pi n,n\in z\\\\2)x=-\pi+\frac{\pi }{6}+2\pi n,n\in z\\\\x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi n,n\in z$

Отрезок не записан.

Если отрезок π < x < 2π , то корни :

$\frac{7\pi }{6} ;\frac{11\pi }{6}$

Answer 2

а) Для решения уравнения 2cos²x + 5sinx + 1 = 0, мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами, чтобы выразить sinx через cosx:

1. Тригонометрическое тождество: sin²x + cos²x = 1
2. Выразим sin²x: sin²x = 1 - cos²x
3. Подставим выражение для sin²x в уравнение: 2cos²x + 5(1 - cos²x) + 1 = 0
4. Упростим: 2cos²x + 5 - 5cos²x + 1 = 0
5. Сгруппируем слагаемые: -3cos²x + 6 = 0
6. Перенесем все слагаемые влево: -3cos²x = -6
7. Разделим обе части на -3: cos²x = 2
8. Извлечем квадратный корень: cosx = ±√2

Теперь найдем значения углов, при которых косинус равен ±√2. Ограничимся рассмотрением углов на отрезке [0, 2π], так как значения тригонометрических функций повторяются через каждые 2π.

Для cosx = √2: На интервале [0, 2π] нет углов, у которых cosx равен √2, поэтому этот корень нам не подходит.

Для cosx = -√2: Также нет углов на интервале [0, 2π], при которых cosx равен -√2.

Ответ: Уравнение 2cos²x + 5sinx + 1 = 0 не имеет корней на отрезке [0, 2π].

Пожалуйста, обратите внимание, что я отметил, что нет решений на отрезке [0, 2π]. Если вы хотели найти решения на другом интервале или участке, пожалуйста, уточните.