Question

Корень из 2cosx-2cos (45°+x)/2sin (45°+x)-корень из 2sinx

Answer 1

$\displaystyle \frac{\sqrt{2}\cos x-2\cos\left(45^\circ+x\right)}{2\sin\left(45^\circ+x\right)-\sqrt{2}\sin x}=\frac{\sqrt{2}\cos x-2(\cos45^\circ\cos x-\sin45^\circ\sin x)}{2(\sin 45^\circ\cos x+\cos 45^\circ\sin x)-\sqrt{2}\sin x}=\\ \\ \\ =\frac{\sqrt{2}\cos x-2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x\right)}{2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x\right)-\sqrt{2}\sin x}=\frac{\sqrt{2}\cos x-\sqrt{2}\cos x+\sqrt{2}\sin x}{\sqrt{2}\cos x+\sqrt{2}\sin x-\sqrt{2}\sin x}=$

$=\displaystyle \frac{\sqrt{2}\sin x}{\sqrt{2}\cos x}=\frac{\sin x}{\cos x}={\rm tg}\, x$

Answer 2

Для вычисления данного выражения, давайте сначала упростим его. Перед тем, как продолжить, заметим, что sin(45°) и cos(45°) равны 1/√2.

Итак, у нас есть следующее выражение:

√(2cos(x) - 2cos(45°+x)) / 2sin(45°+x) - √(2sin(x))

Сначала упростим корни:

√2 * √(cos(x)) - √2 * √(cos(45°+x)) / 2 * √(sin(45°+x)) - √2 * √(sin(x))

Теперь упростим выражение под корнями, используя тригонометрические тождества:

cos(45°+x) = cos(45°)cos(x) - sin(45°)sin(x) = (1/√2)cos(x) - (1/√2)sin(x)

sin(45°+x) = sin(45°)cos(x) + cos(45°)sin(x) = (1/√2)cos(x) + (1/√2)sin(x)

Теперь заменим эти значения обратно в выражении:

√2 * √(cos(x)) - √2 * √((1/√2)cos(x) - (1/√2)sin(x)) / 2 * √((1/√2)cos(x) + (1/√2)sin(x)) - √2 * √(sin(x))

Далее, упростим корни:

√2 * √(cos(x)) - √2 * √((1/√2)cos(x) - (1/√2)sin(x)) / 2 * √((1/√2)cos(x) + (1/√2)sin(x)) - √2 * √(sin(x))

= √2 * √(cos(x)) - √2 * √((1/√2)cos(x) - (1/√2)sin(x)) / 2 * √((1/√2)cos(x) + (1/√2)sin(x)) - √2 * √(sin(x))

Теперь упростим еще раз, умножая числитель и знаменатель под корнем на √2:

= √2 * √(cos(x)) - √2 * √(2/2 * cos(x) - 2/2 * sin(x)) / 2 * √(2/2 * cos(x) + 2/2 * sin(x)) - √2 * √(sin(x))

= √2 * √(cos(x)) - √2 * √(2(cos(x) - sin(x))) / 2 * √(2(cos(x) + sin(x))) - √2 * √(sin(x))

Теперь объединим корни:

= √2 * √(cos(x)) - √(2(cos(x) - sin(x))) / √2 * √(2(cos(x) + sin(x))) - √2 * √(sin(x))

Теперь приведем выражение к общему знаменателю:

= (√2 * √(cos(x)) - √(2(cos(x) - sin(x))) ) / (√2 * √(2(cos(x) + sin(x))))

Теперь, чтобы упростить дальше, мы можем разделить числитель и знаменатель на √2:

= (√(cos(x)) - √((cos(x) - sin(x))) ) / (√(2(cos(x) + sin(x))))

Таким образом, окончательное упрощенное выражение равно:

(√(cos(x)) - √(cos(x) - sin(x))) / √(2(cos(x) + sin(x)))

Мы не можем дальше упростить это выражение, оставив его в такой форме.