Question

Найдите a1 и d арифметической прогрессии, в которой S3=60, S7=56.

Answer 1

Sn=(2a1+d(n-1))*n/2

S3=(2a1+2d)*3/2=(a1+d)*3=60; a1+d=20

S7=(2a1+6d)*7/2=(a1+3d)*7=56; a1+3d=8

cистема:

а1+d=20

a1+3d=8

------------ вычтем

-2d=12; d=-6

a1+d=20; a1=20+6=26

Ответ: а1=26; d=-6.

Answer 2

Для нахождения первого члена (a1) и разности (d) арифметической прогрессии (АП), нам понадобится система уравнений на основе суммы первых членов АП.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии выражается следующей формулой: Sn = (n/2) * (a1 + an),

где Sn - сумма первых n членов прогрессии, a1 - первый член, an - n-й член.

Мы знаем, что S3 = 60 и S7 = 56. Подставим эти значения в уравнения и составим систему:

Система уравнений:

1. 60 = (3/2) * (a1 + a3),
2. 56 = (7/2) * (a1 + a7).

Теперь нужно решить эту систему уравнений. Давайте начнем с первого уравнения:

1. 60 = (3/2) * (a1 + a3).

Для удобства рассмотрим еще одно уравнение:

3. a1 + a3 = 40. (результат умножения 60 на 2/3)

Теперь второе уравнение:

2. 56 = (7/2) * (a1 + a7).

Разделим оба уравнения на 2 и приведем их к более компактному виду:

4. a1 + a3 = 40,
5. a1 + a7 = 28.

Теперь вычтем уравнение 5 из уравнения 4:

(a1 + a3) - (a1 + a7) = 40 - 28, a1 + a3 - a1 - a7 = 12, a3 - a7 = 12.

Теперь, так как это арифметическая прогрессия, то a7 = a1 + 6d (где d - разность). Подставим это в уравнение:

a3 - (a1 + 6d) = 12, a3 - a1 - 6d = 12.

Теперь у нас есть два уравнения:

1. a1 + a3 = 40,
2. a3 - a1 - 6d = 12.

Мы можем решить эту систему уравнений. Добавим уравнение 1 к уравнению 2:

(a1 + a3) + (a3 - a1 - 6d) = 40 + 12, 2a3 - 6d = 52, a3 - 3d = 26.

Теперь заменим a3 из уравнения 1:

a1 + 40 - 3d = 40, a1 = 3d.

Таким образом, мы получили выражение для a1 через d. Теперь давайте найдем значение d:

a1 + a7 = 28, a1 + (a1 + 6d) = 28, 2a1 + 6d = 28, 2(3d) + 6d = 28, 6d + 6d = 28, 12d = 28, d = 28 / 12, d = 7/3.

Теперь, найдем значение a1:

a1 = 3d, a1 = 3 * (7/3), a1 = 7.

Таким образом, первый член (a1) арифметической прогрессии равен 7, а разность (d) равна 7/3.