Question

Математический индукция 2*2+3*5+...+(n+1)(3n-1)=n(2n^+5n+1)/2 нужно доказать . Пожалуйста помогите!!!

Answer 1

В равенстве слева сумма имеет общий член $a_n=(n+1)(3n-1)$

1) Базис индукции: $n=1$

$(1+1)\cdot (3\cdot 1-1)~=4=\dfrac{2\cdot 1^2+5\cdot 1+1}{2}=4$

2) Предположим, что и для $n=k$ верно равенство

$2\cdot 2+3\cdot 5+...+(k+1)(3k-1)=\dfrac{k(2k^2+5k+1)}{2}$

3) Индукционный переход: $n=k+1$

$\underbrace{2\cdot 2+3\cdot 5+...+(k+1)(3k-1)}_{\frac{k(2k^2+5k+1)}{2}}+(k+2)(3k+2)=\\ \\ \\ =\dfrac{(k+1)(2(k+1)^2+5(k+1)+1)}{2}\\ \\ \\ \dfrac{k(2k^2+5k+1)}{2}+(k+2)(3k+2)=\dfrac{(k+1)(2k^2+4k+2+5k+5+1)}{2}\\ \\ \\ \dfrac{2k^3+5k^2+k}{2}+3k^2+8k+4=\dfrac{(k+1)(2k^2+9k+8)}{2}\\ \\ \\ \dfrac{2k^3+5k^2+k+6k^2+16k+8}{2}=\dfrac{2k^3+9k^2+8k+2k^2+9k+8}{2}$

$\dfrac{2k^3+11k^2+17k+8}{2}=\dfrac{2k^3+11k^2+17k+8}{2}$

Равенство верно для всех натуральных n. Что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства равенства методом математической индукции, нужно выполнить два шага: базовый шаг и шаг индукции.

Шаг 1: Базовый шаг Проверим верность утверждения для n = 1 (наименьшее значение, для которого формула должна работать).

n = 1: Левая сторона: (n + 1)(3n - 1) = (1 + 1)(3 * 1 - 1) = 2 * 2 = 4 Правая сторона: n(2n + 5n + 1) / 2 = 1(2 * 1 + 5 * 1 + 1) / 2 = 1(2 + 5 + 1) / 2 = 1 * 8 / 2 = 4

Обе стороны равны 4, что подтверждает верность утверждения при n = 1.

Шаг 2: Шаг индукции Предположим, что утверждение верно для некоторого положительного целого числа k, т.е. сумма первых k членов равна k(2k + 5k + 1) / 2:

13 + 25 + ... + (k+1)(3k-1) = k(2k + 5k + 1) / 2

Теперь докажем, что утверждение также верно для n = k + 1:

13 + 25 + ... + (k+1)(3k-1) + (k+2)(3(k+1)-1) = (k+1)(2(k+1) + 5(k+1) + 1) / 2

Начнем с левой стороны:

Левая сторона: 13 + 25 + ... + (k+1)(3k-1) + (k+2)(3(k+1)-1) = k(2k + 5k + 1) / 2 + (k+2)(3(k+1)-1)

Теперь упростим второе слагаемое:

(k+2)(3(k+1)-1) = (k+2)(3k + 3 - 1) = (k+2)(3k + 2)

Теперь объединим оба слагаемых:

k(2k + 5k + 1) / 2 + (k+2)(3k + 2) = k(2k + 5k + 1) / 2 + k(2k + 5k + 1)

Теперь вынесем k за скобки и упростим:

k(2k + 5k + 1) / 2 + k(2k + 5k + 1) = k(2k + 5k + 1) * (1/2 + 1) = k(2k + 5k + 1) * (3/2)

Теперь факторизуем k из скобки:

k(2k + 5k + 1) * (3/2) = k * (2k + 5k + 1) * (3/2) = k * (2k + 5k + 1) * (3/2) = k(2k + 5k + 1) * (3/2) = (k+1)(2(k+1) + 5(k+1) + 1) / 2

Что и требовалось доказать.

Таким образом, мы показали, что если утверждение верно для некоторого положительного целого числа k, то оно также верно и для n = k + 1. Поскольку мы уже проверили базовый шаг, это означает, что утверждение верно для всех положительных целых чисел n. Доказательство завершено.