Question

Докажите, что: ab(a-b)≤a^3-b^3 если а≥b

Answer 1

Объяснение:

Допустим, что a<0 и b<0. Распишем сумму кубов: a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2). Тогда ab(a+b)≤(a+b)(a^2-ab+b^2). При a и b<0, (a+b)-отрицательное, а а^2-ab+b^2≥ab, поскольку (a-b)^2≥0 при любых. a и b. Тогда сокращением на (a+b) меняется знак неравенства.

Answer 2

Для доказательства неравенства ab(a-b) ≤ a^3 - b^3 при условии a ≥ b, мы можем использовать алгебраические преобразования. Давайте начнем:

Дано: a ≥ b

Проверим, что утверждение верно при a = b:

a^3 - b^3 = b^3 - b^3 = 0

ab(a - b) = b * 0 = 0

Таким образом, при a = b оба выражения равны нулю, что подтверждает справедливость неравенства.

Теперь предположим, что a > b. Мы знаем, что a^3 > b^3, так как a > b.

Поделим обе стороны на a-b (заметим, что a-b > 0, так как a > b):

(a^3 - b^3) / (a - b) > (b^3 - b^3) / (a - b)

a^2 + ab + b^2 > 0

Теперь, так как a^2 и b^2 положительны (так как a и b больше или равны нулю), и ab также положительно (так как a и b имеют одинаковый знак, а a ≥ b), то сумма a^2 + ab + b^2 также положительна.

Таким образом, мы доказали, что ab(a - b) ≤ a^3 - b^3 при условии a ≥ b.