Question

На доске написаны числа от 1 до 100. Вася и Петя по очереди вычеркивают написанные числа, начинает Вася. Тот, после чьего хода все оставшиеся числа будут одновременно делиться на одно и то же натуральное число, большее 1, или не вычеркнутым остается ровно одно число, проигрывает. Кто выиграет при правильной игре?

Answer 1

Ответ:

Выиграет Вася.

Объяснение:

Answer 2

Чтобы определить, кто выиграет при правильной игре, давайте проанализируем ситуацию.

Исходная доска содержит числа от 1 до 100. Первым ходом Вася может выбрать любое число и вычеркнуть его. После этого, на каждом ходу игрок должен вычеркивать только такие числа, которые являются делителями уже вычеркнутых чисел.

Когда останется только одно число на доске, то есть последний игрок (Петя) не сможет ничего вычеркнуть, и он проиграет. Но наша задача - выяснить, кто из игроков выиграет при правильной игре до этого момента.

Обратим внимание на различные сценарии:

1. Если Вася выберет простое число (число, которое делится только на 1 и на себя), например, 2 или 3, то Петя будет вынужден вычеркнуть только числа, которые делятся на это число. Это оставит на доске только числа, которые не делятся на это простое число.

2. Если Вася выберет составное число (число, которое делится не только на 1 и на себя), например, 4 или 6, то Петя также вынужден вычеркнуть только числа, которые делятся на это число. И снова останутся числа, которые не делятся на это составное число.

В обоих случаях (простое или составное число), Вася может выбрать число таким образом, чтобы оставшиеся числа были простыми. При правильной игре Васи он всегда может обеспечить такую ситуацию.

Теперь посмотрим на состав простых чисел в диапазоне от 1 до 100:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

Мы видим, что существует 25 простых чисел. Таким образом, Вася всегда может сделать первый ход так, чтобы оставшиеся числа после его хода были простыми.

Поскольку простых чисел нечетное количество, Петя, следующим ходом, вынужден выбирать составные числа (которые не являются простыми) и делать это так, чтобы оставшиеся числа после его хода оставались простыми.

Но Вася всегда может ответить, выбрав следующее простое число и привести доску к ситуации, когда остаются только простые числа.

Таким образом, при правильной игре Васи он всегда сможет оставить на доске только простые числа и выиграет.