Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками заданных функций. y=3x^2, y=2x.

Answer 1

$y=3x^2$ - парабола, ветви которой направлены вверх.

$y=2x$ - прямая, проходящая через начало координат.

Приравниваем функции и найдем ограниченные линии

$3x^2=2x\\ 3x^2-2x=0\\ x(3x-2)=0\\ x_1=0\\ x_2=\frac{2}{3}$

Площадь фигуры:

$S=\displaystyle \int\limits^{\frac{2}{3}}_0\left(2x-3x^2\right)dx=\left(x^2-x^3\right)\big|^{\frac{2}{3}}_0=\bigg(\frac{2}{3}\bigg)^2\cdot \bigg(1-\frac{2}{3}\bigg)=\frac{4}{9}\cdot\frac{1}{3}=\frac{4}{27}$

Ответ: 4/27 кв. ед.

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций y = 3x^2 и y = 2x, нам необходимо найти точки пересечения этих двух графиков и вычислить интеграл от разности функций между этими точками.

Первым шагом найдем точки пересечения функций:

3x^2 = 2x

3x^2 - 2x = 0

x(3x - 2) = 0

Отсюда получаем две возможные точки пересечения:

x = 0 и x = 2/3.

Теперь, чтобы найти площадь, вычислим интеграл от разности функций между этими точками:

Площадь = ∫[0, 2/3] (3x^2 - 2x) dx

Вычислим этот интеграл:

∫(3x^2 - 2x) dx = x^3 - x^2 + C

Интегрируя от 0 до 2/3, получаем:

Площадь = [(2/3)^3 - (2/3)^2] - [0^3 - 0^2] = 8/27 - 4/9 = 8/27 - 12/27 = -4/27

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = 3x^2 и y = 2x, равна -4/27. Обратите внимание, что площадь отрицательная, что означает, что фигура находится ниже оси x.