Question

Докажите что сумма 1+2+...+2019 делится на 2019​

Answer 1

Если проходили прогрессии, то это арифметическая прогрессия с шагом 1, первый член 1 последний 2019, количество членов 2019

S = (a1 + an)/2 * n = (2019 + 1)/2 * 2019

один из множителей произведения кратен 2019

значит и все произведение кратно 2019

--------

ну и можно скомпоновать сумму по-другому

1 + 2 + 3 + .....+ 2017 + 2018 + 2019 = (1 + 2018) + (2 + 2017) + (3 + 2016) + ... + (1013 + 1016) + (1014 + 1015) + 2019 = 2019 + 2019 + 2019 + ....+ 2019 = 1010 * 2019 это число делится на 2019

Answer 2

Для доказательства, что сумма 1 + 2 + ... + 2019 делится на 2019, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Шаг 1: Базовый случай Проверим, что утверждение верно для базового случая, когда n = 1. Тогда сумма равна 1, и 1 делится на 2019.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что утверждение верно для некоторого k, то есть сумма 1 + 2 + ... + k делится на 2019.

Шаг 3: Доказательство для k+1 Докажем, что утверждение верно для k+1, то есть сумма 1 + 2 + ... + k + (k+1) делится на 2019.

Рассмотрим сумму (1 + 2 + ... + k) + (k+1). По предположению индукции, первая часть суммы (1 + 2 + ... + k) делится на 2019. Для доказательства, что вся сумма делится на 2019, достаточно показать, что (1 + 2 + ... + k) + (k+1) также делится на 2019.

Мы знаем, что (1 + 2 + ... + k) делится на 2019, поэтому можно записать (1 + 2 + ... + k) = 2019m, где m - целое число.

Тогда (1 + 2 + ... + k) + (k+1) = 2019m + (k+1) = 2019m + 2019 = 2019(m + 1).

Таким образом, сумма (1 + 2 + ... + k) + (k+1) представляется в виде произведения 2019 на целое число (m + 1). Это означает, что она делится на 2019 без остатка.

Шаг 4: Заключение Мы показали, что если утверждение верно для k, то оно верно и для k+1. Также мы проверили, что утверждение верно для базового случая (n = 1). Следовательно, по принципу математической индукции, утверждение верно для всех натуральных чисел n, включая n = 2019.

Таким образом, сумма 1 + 2 + ... + 2019 действительно делится на 2019.