Question

Дана дробь, в числителе которой выписаны подряд все натуральные числа от 1 до 1009 в порядке возрастания, а в знаменателе -- подряд все натуральные числа от 2020 до 1011 в порядке убывания. Найдите все числа х, обладающие следующим свойством: если прибавить х к числителю и знаменателю данной дроби, то получится дробь,полученная из исходной приписыванием в конец к числителю и к знаменателю числа 1010.

Answer 1

$123...1009=A,\:20202019...1011=B\\ \dfrac{A*10^4+1010}{B*10^4+1010}=\dfrac{A+x}{B+x}\\ (A*10^4+1010)*(B+x)=(B*10^4+1010)*(A+x)\\ Ax*10^4+1010B=Bx*10^4+1010A\\ (A-B)x*10^4=1010(A-B)\\ A\neq B=>x*10^4=1010=>x=0,101$

Answer 2

Давайте разберемся с данной задачей.

Пусть дана дробь F, где числитель состоит из всех натуральных чисел от 1 до 1009 в порядке возрастания, а знаменатель состоит из всех натуральных чисел от 2020 до 1011 в порядке убывания. Представим эту дробь в виде F = A/B, где A - числитель, а B - знаменатель.

Мы ищем все числа х такие, что (A + x)/(B + x) = (A * 10 + 1010)/(B * 10 + 1010).

Раскроем левую и правую части дробей:

(A + x)/(B + x) = (A * 10 + 1010)/(B * 10 + 1010) (A + x) * (B * 10 + 1010) = (A * 10 + 1010) * (B + x) AB * 10 + 1010A + Bx + 1010x = AB + Ax + 1010B + 1010x 1010A + Bx = Ax + 1010B

Перегруппируем и упростим уравнение:

1010A - Ax = 1010B - Bx 1010(A - B) = x(A - B) 1010 = x

Таким образом, получаем, что x = 1010.

Итак, единственное число, обладающее указанным свойством, равно 1010.