Question

Найти все значения корней степени k из комплексного числа z. z=-i , k=3

Answer 1

Модуль комплексного числа z: $|z|=\sqrt{0^2+(-1)^2}=1$. Тогда

$z=0-i=\cos \left(-\dfrac{\pi}{2}\right)+i\sin \left(-\dfrac{\pi}{2}\right)$

$\sqrt[3]{z}=\sqrt[3]{1}\cdot \left(\cos\dfrac{-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k}{3}+i\sin \dfrac{-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k}{3}\right),~~~~ k=0,1,2$

Answer 2

Чтобы найти все значения корней степени k из комплексного числа z, нужно воспользоваться формулой для вычисления комплексных корней степени k. Формула для нахождения корней степени k из комплексного числа z имеет следующий вид:

r^(1/k) * (cos((θ + 2πn) / k) + i * sin((θ + 2πn) / k))

где r - модуль комплексного числа z, θ - аргумент комплексного числа z, и n принимает значения от 0 до k-1.

Для заданных значений z=-i (комплексное число с мнимой частью -1) и k=3 (степень корня), давайте найдем все значения корней:

1. Найдем модуль r и аргумент θ числа z=-i: Модуль: |z| = √((-0)^2 + (-1)^2) = √1 = 1 Аргумент: θ = arctan(-1/0) = -π/2 (так как число находится на отрицательной мнимой полуоси).

2. Подставим полученные значения в формулу для корней:

   Первое значение (n = 0): √1^(1/3) * (cos((-π/2 + 2π0) / 3) + i * sin((-π/2 + 2π0) / 3)) √1 * (cos(-π/2) + i * sin(-π/2)) 1 * (0 + i * (-1)) = -i

   Второе значение (n = 1): √1^(1/3) * (cos((-π/2 + 2π1) / 3) + i * sin((-π/2 + 2π1) / 3)) √1 * (cos(π/6) + i * sin(π/6)) 1 * (√3/2 + i * 1/2) = (√3/2 + i/2)

   Третье значение (n = 2): √1^(1/3) * (cos((-π/2 + 2π2) / 3) + i * sin((-π/2 + 2π2) / 3)) √1 * (cos(5π/6) + i * sin(5π/6)) 1 * (-√3/2 + i * 1/2) = (-√3/2 + i/2)

Таким образом, все значения корней степени k=3 из комплексного числа z=-i это: -i, (√3/2 + i/2), (-√3/2 + i/2).