Question

Найдите точку максимума функции y = - x/x^2 + 196

Answer 1

Ответ:

x1=-14;y1=14/(196+196)=14/(2*14^2=1/(2*14)=1/28 максимум

Объяснение:

Экстреумумы функции в точках, где производнаяэ равна 0

Answer 2

Для нахождения точки максимума функции y = -x/(x^2 + 196) необходимо найти значения x, при которых производная функции равна нулю. Затем, мы можем проверить, являются ли эти точки точками максимума путем анализа второй производной.

Давайте найдем производную функции y по x:

y = -x/(x^2 + 196) y' = [(-1)(x^2 + 196) - (-x)(2x)] / (x^2 + 196)^2 y' = (-x^2 - 196 + 2x^2) / (x^2 + 196)^2 y' = (x^2 - 196) / (x^2 + 196)^2

Теперь приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

(x^2 - 196) / (x^2 + 196)^2 = 0

Числитель равен нулю, когда x^2 - 196 = 0. Решим это уравнение:

x^2 - 196 = 0 (x + 14)(x - 14) = 0

Отсюда получаем два значения x: x = -14 и x = 14.

Теперь нам нужно проверить, являются ли эти точки максимумами или минимумами. Для этого найдем вторую производную функции y:

y'' = [2x(x^2 + 196)^2 - (x^2 - 196)(4x(x^2 + 196))] / (x^2 + 196)^4 y'' = [2x(x^2 + 196)^2 - 4x(x^2 - 196)(x^2 + 196)] / (x^2 + 196)^4 y'' = [2x(x^2 + 196)^2 - 4x(x^4 - 196^2)] / (x^2 + 196)^4 y'' = [2x(x^2 + 196)^2 - 4x(x^4 - 38416)] / (x^2 + 196)^4 y'' = [2x(x^2 + 196)^2 - 4x(x^4 - 38416)] / (x^2 + 196)^4

Теперь подставим найденные значения x:

Для x = -14: y'' = [2(-14)((-14)^2 + 196)^2 - 4(-14)((-14)^4 - 38416)] / ((-14)^2 + 196)^4 y'' = [-448(-14^2 + 196)^2 + 4(-14)(14^4 - 38416)] / (196 + 196)^4 y'' = [-448(-14^2 + 196)^2 - 4(-14)(14^4 - 38416)] / (196 + 196)^4

Для x = 14: y'' = [2(14)((14)^2 + 196)^2 - 4(14)((14)^4 - 38416)] / ((14)^2 + 196)^4 y'' = [448(14^2 + 196)^2 - 4(14)(14^4 - 38416)] / (196 + 196)^4 y'' = [448(14^2 + 196)^2 - 4(14)(14^4 - 38416)] / (196 + 196)^4

Анализируя знаки второй производной для обоих значений x, мы можем определить характер точек:

1. Для x = -14: y'' < 0
2. Для x = 14: y'' > 0

Таким образом, точка x = -14 является точкой максимума, а точка x = 14 является точкой минимума для функции y = -x/(x^2 + 196).

Найденные значения x указывают на координаты точек максимума и минимума: (-14, y_max) и (14, y_min).