Question

Нужно срочно! Даю 58 баллов. В прямоугольнике МKNZ диагонали пересекаются в точке О. Докажите, что четырехугольник ABCD, вершинами которого являются середины отрезков OM, OK, ON и OZ – ромб.

Answer 1

Рассмотрим прямоугольник  mknz.

mo = on, ko = oz т.к. диагонали прямоугольника в точке пересечения делятся пополам

ma = ao, oc = cn по условию.

ao = mo : 2, oc = on : 2 по условию.

mo = on из этого следует, что ao = oc

kb = bo, od = dz по условию.

bo = ko : 2, oc = oz : 2 по условию.

ko = oz из этого следует, что bo = od

рассмотрим четырёхугольник abcd

диагональ bd в точке о делит диагональ ac на 2 равных отрезка

диагональ ac в точке о делит диагональ bd на 2 равных отрезка

ответ: четырёхугольник abcd является прямоугольником т.к. его диагонали делятся пополам в очке пересечения.

Answer 2

Для доказательства того, что четырехугольник ABCD является ромбом, нам необходимо показать, что его стороны равны между собой. Для этого мы можем воспользоваться свойствами параллелограмма и свойствами серединных перпендикуляров.

Во-первых, поскольку OMKZ - прямоугольник, то его диагонали MO и NZ делят друг друга пополам. То есть, OM = ZM и ON = NZ.

Во-вторых, поскольку M и N - середины отрезков OM и NZ соответственно, то по свойству серединного перпендикуляра они лежат на перпендикулярах, проходящих через середины этих отрезков.

Таким образом, мы имеем: OM ⊥ KN ON ⊥ MZ

Также, поскольку OK - диагональ прямоугольника MKNZ, то по свойству диагоналей параллелограмма: OK делит MZ пополам.

Следовательно, OM = ZM, ON = NZ и OK делит MZ пополам.

Теперь рассмотрим четырехугольник ABCD, вершинами которого являются середины отрезков OM, OK, ON и OZ. Из наших предыдущих утверждений следует, что стороны этого четырехугольника равны между собой: AB = BC (так как M и N - середины OM и ON, соответственно) BC = CD (так как O и Z - середины OK и OZ, соответственно) CD = DA (так как M и Z - середины OM и OZ, соответственно)

Таким образом, все стороны четырехугольника ABCD равны друг другу, что по определению является свойством ромба.

Таким образом, четырехугольник ABCD является ромбом, что и требовалось доказать.