Question

Нужно упростить 1/(cos^2a-sin^2a+sin2a*tg2a)

Answer 1

$\frac{1}{cos^2a-sin^2a+sin2a\cdot tg2a}=\frac{1}{cos2a+sin2a\cdot \frac{sin2a}{cos2a}}=\frac{cos2a}{cos^22a+sin^22a}=\frac{cos2a}{1}=cos2a$

Answer 2

$\dfrac{1}{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha+\sin2\alpha\cdot {\rm tg}2\alpha}=\dfrac{1}{\cos 2\alpha+\sin2\alpha \cdot \dfrac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha}}=\\ \\ \\ =\dfrac{\cos2\alpha}{\cos^22\alpha+\sin^22\alpha}=\dfrac{\cos2\alpha}{1}=\cos2\alpha$

Answer 3

Для упрощения данного выражения, воспользуемся тригонометрическими тождествами.

1. Начнем с замены тангенса через синус и косинус: tg(2a) = 2 * sin(2a) / cos(2a)

2. Теперь преобразуем знаменатель: cos^2(a) - sin^2(a) + 2 * sin(2a) * tg(2a)

3. Воспользуемся формулой разности квадратов: cos^2(a) - sin^2(a) = cos^2(a) - (1 - cos^2(a)) = 2 * cos^2(a) - 1

4. Подставим значение tg(2a) из первого шага: 2 * cos^2(a) - 1 + 2 * sin(2a) * (2 * sin(2a) / cos(2a))

5. Упростим выражение: 2 * cos^2(a) - 1 + 4 * sin^2(2a) / cos(2a)

6. Воспользуемся тождеством для синуса удвоенного угла: sin^2(2a) = (1 - cos(4a)) / 2

7. Подставим полученное значение: 2 * cos^2(a) - 1 + 4 * (1 - cos(4a)) / (2 * cos(2a))

8. Упростим дальше: 2 * cos^2(a) - 1 + 2 * (1 - cos(4a)) / cos(2a)

9. Теперь заметим, что (1 - cos(4a)) = 2 * sin^2(2a), и подставим это значение: 2 * cos^2(a) - 1 + 2 * (2 * sin^2(2a)) / cos(2a)

10. Еще раз воспользуемся тождеством для синуса удвоенного угла: sin^2(2a) = (1 - cos(4a)) / 2

11. Теперь получим: 2 * cos^2(a) - 1 + 4 * (1 - cos(4a)) / cos(2a)

12. Упростим дальше: 2 * cos^2(a) - 1 + 4 - 4 * cos(4a) / cos(2a)

13. Вынесем общий знаменатель: 2 * cos^2(a) - 1 + (4 * cos(2a) - 4 * cos(4a)) / cos(2a)

14. Сократим одинаковые слагаемые: 2 * cos^2(a) - 1 + 4 - 4 * cos(4a) / cos(2a)

15. Теперь у нас есть общий знаменатель, объединим числители: (2 * cos^2(a) - 1 + 4 - 4 * cos(4a)) / cos(2a)

16. Упростим числитель: (2 * cos^2(a) + 3 - 4 * cos(4a)) / cos(2a)

Таким образом, упрощенное выражение равно: (2 * cos^2(a) + 3 - 4 * cos(4a)) / cos(2a)