Question

1 16.9в арифметической прогрессии второй член равен 3,6, пя-тый — 9,6. Найдите номера членов прогрессии, принадлежа-щих числовому промежутку [15; 25].​

Answer 1

По формуле n-го члена арифметической прогрессии имеем

$a_5=a_1+4d=a_1+d+3d=a_2+3d$ отсюда разность прогрессии

$d=\dfrac{a_5-a_2}{3}=\dfrac{9.6-3.6}{3}=2$

Первый член: $a_1=a_5-4d=9.6-4\cdot 2=1.6$

Составим двойное неравенство по условию

$15\leq a_1+(n-1)d\leq 25\\ \\ 15\leq 1.6+2(n-1)\leq 25\\ \\ 15\leq 2n-0.4\leq 25~~~|+0.4\\ \\ 15.4\leq 2n\leq 25.4\\ \\ 7.5\leq n\leq 12.7$

Отсюда искомые номера членов прогрессии: 8; 9; 10; 11; 12.

Answer 2

Для решения данной задачи нам понадобятся формулы арифметической прогрессии:

$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$

где: $a_n$ - $n$-ый член прогрессии, $a_1$ - первый член прогрессии, $d$ - разность прогрессии.

У нас дано, что второй член равен 3,6, а пятый член равен 9,6. Мы можем использовать эти данные, чтобы найти первый член и разность прогрессии:

По формуле $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$, подставим $n = 2$ и $a_n = 3,6$:

$3,6 = a_1 + (2 - 1) \cdot d$ $3,6 = a_1 + d$

По формуле $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$, подставим $n = 5$ и $a_n = 9,6$:

$9,6 = a_1 + (5 - 1) \cdot d$ $9,6 = a_1 + 4d$

Теперь у нас есть система уравнений:

$\begin{cases} 3,6 = a_1 + d \\ 9,6 = a_1 + 4d \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы устранить $a_1$:

$9,6 - 3,6 = a_1 + 4d - (a_1 + d)$ $6 = 3d$ $d = 2$

Подставим значение $d$ обратно в первое уравнение:

$3,6 = a_1 + 2$ $a_1 = 1,6$

Теперь у нас есть первый член ($a_1 = 1,6$) и разность ($d = 2$). Чтобы найти номера членов прогрессии, принадлежащих числовому промежутку $[15; 25]$, мы должны найти такие значения $n$, для которых $a_n$ находится в этом промежутке.

Найдем наименьший номер члена прогрессии, для которого $a_n$ превышает 15:

$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d > 15$ $1,6 + (n - 1) \cdot 2 > 15$ $2n - 1 > 28$ $2n > 29$ $n > 14.5$

Наименьшее целое значение $n$, удовлетворяющее этому неравенству, равно 15. То есть, 15-й член прогрессии превышает 15.

Теперь найдем наибольший номер члена прогрессии, для которого $a_n$ не превышает 25:

$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \leq 25$ $1,6 + (n - 1) \cdot 2 \leq 25$ $2n - 1 \leq 23$ $2n \leq 24$ $n \leq 12$

Наибольшее целое значение $n$, удовлетворяющее этому неравенству, равно 12. То есть, 12-й член прогрессии не превышает 25.

Таким образом, члены прогрессии с номерами от 15 до 12 (включительно) принадлежат числовому промежутку $[15; 25]$.